Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 14
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
Esses casos envolvendo funções trigonométricas são sempre complicadinhos de definir qual teste usar, né? 
O que complica, nesses casos, é que as funções trigonométricas são limitadas entre e e, assim, fica meio complicado de pensar em séries alternadas ou séries com termos estritamente positivos.
Pra fugir dessa “sinuca”, vamos usar 2 artifícios: vamos mesclar o critério da convergência absoluta com o “Teste da Comparação”.
Passo 2
Sabemos que , certo? O que nos leva a , belezinha? Ou seja, nosso termo oscila entre números positivos e negativos.
Se lidarmos com o módulo de , ou seja, e testarmos a série , estaremos testando a convergência absoluta da nossa série original. Além do mais, teremos também que
E é aí que está o pulo do gato! Como é sempre um número positivo, poderemos usar o “Teste da Comparação” sem problemas!
Então, assumindo que vamos testar a convergência da série
Vamos aplicar o “Teste da Comparação”.
Passo 3
Vamos tomar a seguinte série
Essa série converge ou diverge? Rapidamente pelo Teste da Comparação conferimos que a série converge, pois
Como sabemos que
Então,
Passo 4
Assim, pelo Teste da Comparação, chegamos à conclusão de que a série é convergente!
Isso nos leva à conclusão de que a nossa série original é absolutamente convergente!
Por último, por ser absolutamente convergente, chegamos à conclusão de que a série é, portanto, convergente!