Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 34

Teste a convergência ou divergência da série:

Passo 1

E aí, turma! Tudo certo?

Nossa questão pede que a gente encontre a convergência ou divergência da série, mas não diz qual método precisamos usar, então essa decisão fica por nossa conta.

Vamos olhar para a cara da nossa série:

Reparou como ela se parece com uma série-p do tipo:

Onde , o que a torna divergente. Essa série é a série harmônica múltipla de .

Sempre que temos séries cujo termo se parece com séries-p, é uma dica para usarmos o Teste da Comparação!

Relembrando o Teste da Comparação:

Funciona assim: nós achamos uma série que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa série dada no enunciado.

Se for convergente e para todo , então também será convergente.
Se for divergente e para todo , então também será divergente.

Aqui para nós:

E é divergente, então vamos tentar mostrar a afirmativa (ii).

Show de bola! Agora, vamos comparar essa nossa série com a série:

Bora finalizar essa!

Passo 2

A afirmativa (ii) do Teste para nós ficará:

Ou seja:

Vamos ver se isso é verdade.

Passo 3

Vamos analisar o termo:

A função cosseno varia entre -1 e 1, mas aqui temos o cosseno ao quadrado, de modo que só vai nos retornar valores positivos, então:

Multiplicando essa inequação por para termos o termo que estamos analisando:

Ou seja, o valor máximo de é , então:

Na maior parte do tempo o denominador de é menor que o de , fazendo com que o resultado da divisão na fração seja maior em . Portanto, nossa desigualdade está provada.