Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.7 - Ex. 34
Teste a convergência ou divergência da série:
Passo 1
E aí, turma! Tudo certo?
Nossa questão pede que a gente encontre a convergência ou divergência da série, mas não diz qual método precisamos usar, então essa decisão fica por nossa conta.
Vamos olhar para a cara da nossa série:
Reparou como ela se parece com uma série-p do tipo:
Onde , o que a torna divergente. Essa série é a série harmônica múltipla de .
Sempre que temos séries cujo termo se parece com séries-p, é uma dica para usarmos o Teste da Comparação!
Relembrando o Teste da Comparação:
Funciona assim: nós achamos uma série que a gente já sabe o comportamento e compara com nossa série dada no enunciado.
- Se for convergente e para todo , então também será convergente.
- Se for divergente e para todo , então também será divergente.
Aqui para nós:
E é divergente, então vamos tentar mostrar a afirmativa (ii).
Show de bola! Agora, vamos comparar essa nossa série com a série:
Bora finalizar essa!
Passo 2
A afirmativa (ii) do Teste para nós ficará:
Ou seja:
Vamos ver se isso é verdade.
Passo 3
Vamos analisar o termo:
A função cosseno varia entre -1 e 1, mas aqui temos o cosseno ao quadrado, de modo que só vai nos retornar valores positivos, então:
Multiplicando essa inequação por para termos o termo que estamos analisando:
Ou seja, o valor máximo de é , então:
Na maior parte do tempo o denominador de é menor que o de , fazendo com que o resultado da divisão na fração seja maior em . Portanto, nossa desigualdade está provada.
Como diverge, também diverge e a série:
É divergente.