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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 36

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ cos ⁡ n π n  

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Vamos considerar o termo geral da sequência, dado por:

u n = cos ⁡ n π n  

Note ainda que,

- 1 < cos ⁡ n π < 1   ⟹   0 < cos ⁡ n π < 1  

Portanto,

u n = cos ⁡ n π n = 1 n = 1 n  

Veja que esta se trata de uma p-série com p = 1 e portanto, divergente.

Note que ∑ cos ⁡ n π n = ∑ - 1 n n     e a sequência à direita da igualdade é decrescente. E calculando o limite infinito temos:

lim n →  ∞ ⁡ cos ⁡ n π n = lim n →  ∞ ⁡ 1 n = 0

Como a sequência u n é decrescente e tende para zero, pelo teste de Leibniz, a série alternada converge. Sendo assim, a série converge condicionalmente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Condicionalmente convergente.

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Mostre que a série é convergente. Quantos termos da série precisamos somar para encontrar a soma parcial com a precisão indicada? ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 2 2 ne r r o r0,0005
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