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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 48

Nos Exercícios 15-48, determine se as séries convergem absolutamente, convergem ou divergem. Justifique suas respostas.

1 + 1 4 - 1 9 - 1 16 + 1 25 + 1 36 - 1 4 9 - 1 64 + …

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Determinando o termo geral da sequência, temos:

1 + 1 4 - 1 9 - 1 16 + 1 25 + 1 36 - 1 49 - 1 64 + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 2 + 1 2 n + 2 2  

a n = 1 2 n + 1 2 + 1 2 n + 2 2  

Iremos usar o teste do limite da comparação, da sequência a n com a sequência b n = 1 n 2 .

Sabemos que a série ∑ 1 n 2   é uma p-série convergente pois p > 1.

Calculando o limite, temos:

lim n →  ∞ ⁡ a n b n = l i m n →   ∞ 1 2 n + 1 2 + 1 2 n + 2 2 1 n 2 =   l i m n →   ∞ n 2 2 n + 1 2 + n ² 2 n + 2 2

Dividindo numerador e denominador por n², obtemos:

l i m n →   ∞ 1 2 + 1 n 2 + 1 2 + 2 n 2 = 1 2 + 0 2 + 1 2 + 0 2 = 1 4 + 1 4 = 1 2

Como o limite é diferente de zero e de infinito, por teste da comparação ambas séries convergem. Logo, a série converge absolutamente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Absolutamente convergente.

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Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode
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