Determine se a serie é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

16.

∑ n = 1 ∞ 3 - c o s c o s   n   n 2 3 - 2

Passo 1

Oi, galera! Tudo beleza?

A questão manda a gente analisar a série dada e classificar como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Separando as séries, teremos:

∑ n = 1 ∞ 3 - c o s c o s   n   n 2 3 - 2

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 3 - 2 - ∑ n = 1 ∞ c o s c o s   n   n 2 3 - 2

Então pelo Teste da Comparação: se alguma delas divergir, teremos que a série original é divergente.

Passo 2

Estudando a primeira delas:

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 3 - 2

Qual outra série podemos pegar para comparar com esse pedacinho que a gente tem da nossa série da questão? Uma p-série!

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Lembra: se p > 1 , então converge.

Se p ≤ 1 , a série diverge.

Qual o mais parecido que a gente pode escolher para comparar?

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 3

Bem parecida com o que a gente tem, né?

Sabendo que essa nova p-série que temos é divergente por ter p ≤ 1 , vamos comparar:

3 n 2 3 - 2 > 3 n 2 3

Essa afirmação é verdadeira!

Assim podemos comparar.

Portanto, como a série ∑ 3 n 2   3 diverge, valerá que a série estudada também divergirá.

Resposta

∑ n = 1 ∞ 3 - c o s c o s   n   n 2 3 - 2 é   d i v e r g e n t e .

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