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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.2 - Ex. 33

Nos exercícios de 1 a 52, efetue a antidiferenciação.

∫ 2 s e n x 1 + cos ⁡ x 3 d x

Passo 1

Nessa questão a ideia vai ser fazer uma substituição de variável. Como a derivada de cos ⁡ x é - s e n x podemos brincar dentro da raiz. Olha só:

u = 1 + cos ⁡ x

Derivando,

d u = - s e n x   d x

Reescrevendo nossa integral, temos:

I = ∫ 2 1 + cos ⁡ x 3 s e n x d x

Indo para variável u :

I = ∫ 2 u 3 - d u

Tirando a constante da integral e reescrevendo u 3 :

I = - 2 ∫ u 1 3   d u  

Não esquece: ∫ x n d x   = x n + 1 n + 1 + c   quando   n   ≠ - 1

Passo 2

Integrando, temos:

I = - 2 u 4 / 3 4 / 3 + k

Simplificando:

I = - 3 2 u u 3 + k

Voltando para variável x :

I = - 3 2 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 3 + k

Resposta

- 3 2 1 + cos ⁡ x 1 + cos ⁡ x 3 + k

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2.Calcule: ∫ 0 π x sin ⁡ 3 x 2 d x
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