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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 2l

2.Calcule:

int_0^1 (x)/(1 + x^4) d x

Passo 1

Essa é uma questão de integral definida, mas lembrando de que antes de fazermos a definida faremos como se fosse indefinida e faremos valor numérico de função, isso que você está pensando, usaremos a matemática do ensino médio. Sem mais enrolação. Vamos lá!!!!!

u = x^2

Lembrando que a nossa intenção é colocar todos os termos da integral como uma função de u , teremos que fazer isso até com o d x . E como faremos isso??? Calma, aplicaremos a derivada dos dois lados, lembra né? Vamos lá:

(u)^' = (x^2) '

d u = 2 x d x

Passo 2

Agora que temos tudo em função de u , vamos substituir de forma simples, anotando aquilo que já obtemos nas operações anteriores:

u = x^2

Lembrando que o termo da integral não é x^2 e sim x^4 , então elevaremos ao quadrado a expressão de cima:

u^2 = x^4

2 x d x = d u

int (x)/(1 + x^4) d x = int ((d u)/(2))/(1 + u^2) = (1)/(2) int (d u)/(1 + u^2)

Pode parecer estranho, mas se você olhar na sua tabela de integral com cuidado, lá estará a integral que queremos calcular:

int (d u)/(1 + u^2) = tan^(- 1) u + c

Voltando ao x , pois ele é a nossa variável, o u foi apenas uma ferramenta para conseguirmos efetuar a integral! ( u = x^2 ), temos:

int (x)/(1 + x^4) d x = (1)/(2) tan^(- 1) x^2 + c

Passo 3

Agora, com a primitiva já calculada, usaremos a boa e velha matemática do Ensino Médio, valor numérico de função e faremos a integral definida e atenção para não errar no último passo, pois mesmo sendo algo já visto, é aqui que alguns camaradas erram!

int_0^1 (x)/(1 + x^4) d x = (1)/(2) ( tan^(- 1) 1 - tan^(- 1) 0 )

Lembrando que tan^(- 1) 1 = (pi)/(4) e tan^(- 1) 0 = 0 e substituindo acima, temos:

int_0^1 (x)/(1 + x^4) d x = (1)/(2) ( (pi)/(4) - 0 )

int_0^1 (x)/(1 + x^4) d x = (pi)/(8)

Resposta

int_0^1 (x)/(1 + x^4) d x = (pi)/(8)

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Faça a substituição u indicada e, então, use a Tabela de Integrais para calcular a integral. (b) Se o leitor dispuser de um CAS, use-o para calcular a integral e, então, prove que o resultado é equiva
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