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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 13

Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função em P 0 na direção de u .

g x ,   y = x - y x y + 2 ,     P 0 1 ,   - 1 ,           u = 12 i + 5 j

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo!

O vetor gradiente de f x ,   y em um ponto P 0 x 0 ,   y 0 é o vetor

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P 0 .

Para realizarmos a derivada precisamos relembrar a seguinte regrinha:

y = u v → y ' = u ' v - v ' u v 2

Então vamos considerar u = x - y     v = x y + 2 . E vamos precisar das derivadas u ' e v ' em relação a x e y :

u ' = d u d x = 1       d u d y = - 1

v ' = d v d x = y d v d y = x

Então a derivada ∂ g / ∂ x , no ponto 1 ,   - 1 :

∂ g ∂ x = 1 ∙ x y + 2 - y x - y x y + 2 2 = x y + 2 - x y + y 2 x y + 2 2

= y 2 + 2 x y + 2 2 = - 1 2 + 2 1 ∙ - 1 + 2 2 = 1 + 2 1

∂ g ∂ x = 3

E a derivada ∂ g / ∂ y , no ponto 1 ,   - 1 :

∂ g ∂ y = - 1 ∙ x y + 2 - x x - y x y + 2 2 = - x y - 2 - x 2 + x y x y + 2 2

= - x 2 - 2 x y + 2 2 = - 1 2 - 2 1 ∙ - 1 + 2 2 = - 1 - 2 1

∂ g ∂ y = - 3

Então, o gradiente de f , onde:

∇ f = 3 i - 3 j

Passo 2

A notação de vetor gradiente para a derivada direcional, pode ser escrita como:

D u f x ,   y = ∇ f x ,   y ∙ u

Porém, podemos observar que u não é um vetor unitário, mas, sabemos que:

u = a i + b j

O vetor unitário é dado por:

v = u u

Onde:

u = a ,   b = a 2 + b 2

Logo:

u = 12 2 + 5 2

u = 13

Então o vetor unitário na direção de u é:

v = u u = u 13

v = 12 13 i + 5 13 j

Passo 3

A derivada de f em 1 ,   - 1 na direção de u é:

D u f 1 ,   - 1 = ∇ f 1 ,   - 1 ∙ v

= 3 i - 3 j ∙ 12 13 i + 5 13 j

= 3 ∙ 12 13 - 3 ∙ 5 13

= 36 13 - 15 13

D u f 1 ,   - 1 = 21 13

Te espero para fazermos mais exercício juntos! Até mais.

Resposta

D u f = 21 / 13 .

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