12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto é dada por graus.

c) Infelizmente, a blindagem da espaçonave irá se danificar se a taxa de variação da temperatura for inferior a graus/s. Que conjunto de possíveis direções ele pode tomar sem causar danos a sua espaçonave, a partir de com a velocidade do item b)?

Para descobrir as possível direções nas quais o vetor pode caminhar sem danificar a estrutura da nave, vamos estudar as possibilidades de vetores que satisfazem as nossas condições.

Sabendo que se tomar a direção na velocidade do item b), a taxa de variação é de , sendo assim, se tomarmos a direção a taxa será de , que satisfaz a condição que desejamos.

Agora vamos ver o quanto podemos modificar nosso vetor para continuar satisfazendo nossas condições, isto é:

onde é o vetor que chega até o limite da nossa condição de taxa de variação.

Agora para controlar o angulo entre os vetores, vamos fazer o vetor ser resultado do produto vetorial entre , pois a forma de calcular produto vetorial envolve , onde é o angulo entre os vetores e .Agora vamos tomarum vetor unitário, desta forma temos que:

Como o resultado mínimo para taxa de variação que queremos agora é metade do resultado do item b) e como ela depende do produto interno, temos que fazer com que . Desta forma .

Assim, o maior angulo entre o vetor da direção a ser tomada e o vetor deve ser de no máximo