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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.5 - Ex. 2

Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida, esboce o gradiente juntamente com a curva de nível que passa pelo ponto.

f x ,   y = ln ⁡ x 2 + y 2 ,     1 ,   1

Passo 1

Olá galerinha, vamos lá encarar este exercício juntos!

O vetor gradiente de f x ,   y em um ponto P 0 x 0 ,   y 0 é o vetor

∇ f = ∂ f ∂ x i + ∂ f ∂ y j

obtido por meio do cálculo das derivadas parciais de f em P 0 .

Do enunciado temos a seguinte função:

f x ,   y = ln ⁡ x 2 + y 2

Sabemos que:

y = ln ⁡ u → y ' = u ' u

A derivada da função f em relação a x é u = x 2 + y 2 u ' = 2 x                   , logo:

∂ f ∂ x = 2 x x 2 + y 2

E em relação a y u = x 2 + y 2 u ' = 2 y                   :

∂ f ∂ y = 2 y x 2 + y 2

Sendo assim, nosso gradiente é:

∇ f = 2 x x 2 + y 2 i + 2 y x 2 + y 2 j

Substituindo nosso ponto do enunciado 1 ,   1 :

∇ f = 2 ∙ 1 1 2 + 1 2 i + 2 ∙ 1 1 2 + 1 2 j

∇ f = 2 2 i + 2 2 j

∇ f = i + j

Passo 2

Além disso, no ponto 1 ,   1 , temos:

f x ,   y = ln ⁡ x 2 + y 2 = ln ⁡ 1 2 + 1 2

f x ,   y = ln ⁡ 2

Ou seja:

ln ⁡ x 2 + y 2 = ln ⁡ 2

x 2 + y 2 = 2

É uma circunferência com r = 2 . Logo:

Até mais pessoal.

Resposta

  • ∇ f = i + j ;
  • x 2 + y 2 = 2 .

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