Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 14.6 - Ex. 15
Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor .
Passo 1
Eaee, tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função:
Queremos determinar a derivada direcional dessa função no ponto na direção do seguinte vetor:
Para isso, primeiramente, encontraremos as derivadas parciais das coordenadas da equação.
Com isso, poderemos encontrar o vetor gradiente que será dado pela fórmula:
Depois, a partir do vetor gradiente e do vetor unitário, podemos achar a derivada direcional pela fórmula:
Neste caso, o vetor dado não é o unitário, então devemos dividir cada coordenada pelo seu módulo para obter o vetor, certinho??
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais.
Para isso, basta lembrar que vamos derivar a nossa expressão em relação a variável que estamos tratando e vamos fazer todo o resto como constante.
Com isso, sabendo que a derivada da exponencial é a própria exponencial, temos que a derivada em relação a é dada por:
De forma análoga, temos que a derivada em relação a é dada por:
E a derivada com relação a é dada da seguinte forma:
Passo 3
Assim, o nosso vetor gradiente tem a seguinte forma:
Agora substituímos na equação o ponto que foi dado:
Passo 4
Agora vamos o encontrar o vetor unitário, que é dado por:
Para isso, sabemos que o enunciado nos deu o vetor :
Assim, aplicando em , temos:
Passo 5
Agora devemos encontrar a derivada direcional a partir da multiplicação do vetor gradiente com o vetor unitário , como visto na fórmula apresentada no passo :
Realizando a multiplicação: