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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 6

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

6. x = s e c 2 t - 1 ,   y = t g   t , t = - π / 4

Passo 1

E aí, pessoal! Preparados para mais uma questão? Bora lá!

A questão pede para calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Para isso começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calculamos d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Vamos fazer isso nos próximos passos.

Passo 2

Em t = - π / 4 , nós temos o ponto

x = s e c 2 - π 4 - 1 = 2 - 1 = 1

e

y = t g   - π 4 = - 1

Ou seja, vamos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( 1 , - 1 ) .

Passo 3

Para encontrar o coeficiente angular da curva, precisamos de algumas derivadas:

d x d t = 2   t a n t   s e c 2 t

d y d t = s e c 2 t

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = s e c 2 t 2   t a n t   s e c 2 t = 1 2 c o t t

Já vamos aproveitar que temos y ' para calcular

d y ' d t = - 1 2 c s c 2 t

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = - 1 2 c s c 2 t 2   t a n t   s e c 2 = - 1 4 c o s 3   t s e n 3   t = - 1 4 c o t 3 t

Agora só falta aplicar ao ponto t = - π / 4

d 2 y d x 2 = - 1 4 c o t 3 t | t = - π / 4 = 1 4

Passo 4

Agora, vamos usar o coeficiente angular no ponto, que é 1 2 c o t t | t = - π / 4 = - 1 2 e calcular a reta tangente usando o ponto ( x , y ) = ( 1 , - 1 ) :

y + 1 = - 1 2 ⋅ ( x - 1 )

⇒ y + 1 = - 1 2 - 1 2 x

⇒ y = - 3 2 - 1 2 x

Bom, já resolvemos tudo que a questão pedia. Então, até a próxima!

Resposta

y = - 3 2 - 1 2 x

d 2 y d x 2 = 1 4

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