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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 8

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

8. x = - t + 1   ,   y = 3 t , t   =   3

Passo 1

Fala, galera! Vamos partir para mais uma questão? Bora lá!

O roteiro para resolver essa questão é: primeiro, identificamos o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calculamos d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Vamos fazer isso nos próximos passos.

Passo 2

Em t = 3 , nós temos o ponto

x = - 3 + 1 = - 2

e

  y   =   3 ⋅ 3 = 3

Ou seja, o ponto onde vamos calcular tudo é ( x , y ) = ( - 2,3 ) .

Passo 3

Para calcular a reta tangente e tudo mais, vamos começar com algumas derivadas:

d x d t = d d t ( - t   +   1 )   =   - 1 2 t   +   1

d y d t = d d t ( 3 t ) = 3 2 3 t

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = 3 2 3 t - 1 2 t + 1 = - 3 t   +   1 3 t

Já vamos aproveitar esse resultado para calcular

d y ' d t = - 3 3 t   ⋅   1 2 t   +   1   -   t   +   1   ⋅   3 2 3 t   ( 3 t ) 2 = - 3 6 t 3 t   -   3 ( t   +   1 ) t   +   1   ⋅ 3 t

⇒ d y ' d t =   - 3 6 t 3 t   -   3 ( t   +   1 ) t   +   1     ⋅   3 t = 3 2 t 1 t + 1 3 t

⇒ d y ' d t = 3 t 2 t 2 t + 1

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = 3 t 2 t 2 t + 1 - 1 2 t   +   1 =   - 3 t 2 t 2 t + 1 ⋅ 2 t   +   1 1

⇒ d 2 y d x 2 =   - 3 t t 2

Aplicando no ponto t = 3 , nós temos

d 2 y d x 2 =   - 3 t t 2 | t = 3 =   - 3   ⋅   3 3 2 =   - 1 3

Passo 4

Por último, vamos calcular a reta tangente à curva no ponto ( - 2,3 ) . Para isso, precisamos do coeficiente angular, que é - 3 t   +   1 3 t | t   =   3 =   - 3 3   +   1 3   ⋅   3 =   - 6 3 =   - 2 :

y - 3 = - 2 ⋅ ( x + 2 )

⇒ y - 3 = - 4 - 2 x

⇒ y = - 2 x - 1

Nos vemos na próxima!

Resposta

y = - 2 x - 1

d 2 y d x 2 = - 1 3

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