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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 2

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

2. x = s e n   2 π t , y = c o s   2 π t ,   t   = - 1 / 6

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questãozinha de curvas paramétricas, não é? Bora lá!

Para resolver essa questão, temos que calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Então, bora lá começar!

Em t = - 1 / 6 , nós temos o ponto

x = s e n   2 π t = s e n   ( - π 3 ) =   - 3 2

e

y = c o s   ( - π 3 ) = 1 2

Então, o ponto é ( x , y ) = ( - 3 2 , 1 2 ) .

Passo 2

Nesse passo, vamos calcular as derivadas que são necessárias:

d x d t = 2 π c o s 2 π t

d y d t =   - 2 π   s e n   2 π t

Com isso, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = -   2 π   s e n   2 π t 2 π   c o s 2 π t =   - t a n   2 π t

No ponto ( - 3 2 , 1 2 ) , esse coeficiente é - t a n 2 π t | t = - 1 / 6 = 3 . Agora que sabemos o coeficiente angular, podemos calcular a reta tangente à curva no ponto ( - 3 2 , 1 2 ) . Assim,

y - 1 2 = 3 ⋅ ( x + 3 2 )

⇒ y - 1 2 = 3 2 + 3 x

⇒ y = 3 x + 2

Passo 3

Continuando aqui a nossa resolução, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t =   d d t ( - t a n   2 π t ) =   - 2 π   s e c 2   2 π t

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t

⇒ d 2 y d x 2 = - 2 π   s e c 2   2 π t 2 π   c o s 2 π t =   - s e c 3 2 π t

Aplicando no ponto t = - 1 / 6 , nós temos

d 2 y d x 2 = - s e c 3 2 π t | t = - 1 / 6 = - s e c 3 ( - π 3 ) = - 8

Espero que tenha gostado da resolução. Até mais!

Resposta

y = 3 x + 2

d 2 y d x 2 = - 8

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