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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 13

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

13. x = 1 t   +   1 ,   y   = t t   -   1 ,   t =   2

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questãozinha para a gente detonar? Bora lá!

A questão pede para calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calculamos d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Vamos fazer isso nos próximos passos.

Passo 2

Em t = 2 , nós temos o ponto

x = 1 2   +   1 = 1 3

e

  y = 2 2   -   1 = 2

Assim, precisamos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( 1 3   , 2 ) .

Passo 3

Vamos precisar de algumas derivadas para o cálculo do coeficiente angular:

d x d t = - 1 ( t   +   1 ) 2

d y d t = 1   ⋅   ( t   -   1 )   -   t   ⋅   1 ( t   -   1 ) 2 =   - 1 ( t   -   1 ) 2

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = -   1 / ( t - 1 ) 2 - 1 / ( t + 1 ) 2 = ( t + 1 ) 2 ( t - 1 ) 2

No ponto t = 2 , temos

y ' | t = 2 = ( t + 1 ) 2 ( t - 1 ) 2 | t = 2 = 3 2 1 2 = 9

Agora, podemos calcular a reta tangente à curva no ponto ( 1 3 , 2 ) :

y - 2 = 9 ⋅ ( x - 1 3 )

⇒ y - 2 = 9 x - 3

⇒ y = 9 x - 1

Passo 4

Por fim, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t = d d t ( t   +   1 ) 2 ( t   -   1 ) 2 = 2 ( t   +   1 ) ( t   -   1 ) 2 -   2 ( t   -   1 ) ( t   +   1 ) 2 ( t   -   1 ) 4 = 2 ( t + 1 ) ( t - 1 ) - ( t + 1 ) ( t - 1 ) 3

d y ' d t = 2 ( t + 1 ) -   2 ( t   -   1 ) 3 = -   4 ( t   +   1 ) ( t   -   1 ) 3

Com isso, obtemos

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = - 4 ( t   +   1 ) / ( t   -   1 ) 3 - 1 / ( t   +   1 ) 2 = 4 ( t   +   1 ) 3 ( t   -   1 ) 3

Agora, só falta aplicar o ponto t = 2 :

d 2 y d x 2 | t = 2 = 4 ( t + 1 ) 3 ( t - 1 ) 3 | t = 2 = 4 ( 3 ) 3 1 3 = 108

É só isso galera! Nos vemos na próxima!

Resposta

y = 9 x - 1

d 2 y d x 2 = 108

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