Nos Exercícios 65-68, encontre e esboce o domínio de f . Em seguida, encontre uma equação para a curva de nível ou superfície da função passando pelo ponto dado.

f x ,   y = ∑ n = 0 ∞ x y n ,       1 ,   2

Passo 1

Oii galerinha, vamos fazer esse exercício juntos!

Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais x ,   y de um conjunto D um único valor real, denotado por f x ,   y . O conjunto D é o domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f , ou seja:

f x ,   y | ( x ,   y ) ∈ D

No enunciado temos a seguinte função:

f x ,   y = ∑ n = 0 ∞ x y n

Que representa uma série geométrica, antes de definirmos o domínio dessa função, iremos relembrar a definição de uma série geométrica.

A série geométrica é convergente se r < 1 e sua soma é:

∑ n = 0 ∞ a r n = a 1 - r

Então podemos dizer que nossa razão r = x / y , então:

x y < 1

Sendo assim, podemos escrever o domínio da nossa função da seguinte maneira:

D = x ,   y | ( x < y )

Logo, conseguimos obter a Figura:

Passo 2

O conjunto de pontos no plano onde uma função f x ,   y possui um valor constante f x ,   y = c é denominado curva de nível de f .

Se considerarmos n = 1 , temos:

x y = 1 2

Então nossa curva de nível é:

y = 2 x

Resposta

D = x ,   y | ( x < y ) ;

Curva de nível 🡪 y = 2 x .

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