Exercícios de Funções de 2 variáveis, Curvas de Nível e Gráfico - Lista de Exercícios Resolvida

Um mapa de contorno de uma função é mostrado. Use-o para fazer um esboço do gráfico da .

Faça o esboço do mapa de contorno e do gráfico da função e compare-os.

Cada uma das figuras abaixo representa uma superfície. Na coluna da tabela, temos uma equação para cada uma dessas superfícies. Cada superfície contém a imagem de uma das curvas da coluna . Escreva abaixo de cada figura qual é a curva cuja imagem está contida na superfície que ela representa:

Em cada parte, associe o mapa de contorno com uma das funções

por inspeção, e explique seu raciocínio. Quanto maior o valor de , mais clara fica a cor no mapa de contorno e os contornos correspondem a valores igualmente espaçados de .

Na figura estão representadas curvas de nível da função . Escreva uma expressão adequada para .

Considere . Determine:

1. O domínio de ;
2. As curvas de nível e o gráfico de ;

Considere a função

a) Esboce o gráfico de .

b) Identifique a curva de nível que contém o ponto .

Os mapas de contorno abaixo (figuras , e ) correspondem a que gráficos (figura , , ou )?

1. , ,
2. , ,
3. , ,
4. , ,
5. , ,
6. , ,

Nos seguintes exercícios, encontre o domínio , encontre a imagem , e descreva as curvas de nível da função:

b)

Nos seguintes exercícios, encontre o domínio , encontre a imagem , e descreva as curvas de nível da função:

d)

Nos seguintes exercícios, encontre o domínio , encontre a imagem , e descreva as curvas de nível da função:

f)

Esboce o gráfico das funções a seguir:

a)

Esboce o gráfico das funções a seguir:

i)

Considere as funções:

b) . Para quais valores de e temos ? Represente graficamente a resposta.

9 - Associe a função com seu gráfico (indicado por na Figura 1) e com suas respectivas curvas de nível (indicado por na Figura 2).

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Na figura temos, respectivamente, o desenho das curvas de nível das seis funções a seguir.

Faça a associação destas seis curvas de nível com cada um dos seis gráficos apresentados na figura

Considere a função

a) Encontre o domínio e a imagem de .

b) O gráfico de é uma superfície quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce o gráfico de .

c) Identifique as curvas de nível da função e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de contorno e o gráfico de

Os mapas de contorno abaixo (figuras , e ) correspondem a que gráficos (figura , , ou )?

1. , ,
2. , ,
3. , ,
4. , ,
5. , ,
6. , ,

Considere as regiões do plano

Seja

1. Esboce hachurado. Esboce ao lado a fronteira de , denotada por .
2. Determine as constantes e as funções tal que
3. Descreva o conjunto usando igualdades e desigualdades.

8- Seja .

c) Faça um esboço do gráfico de .

Esboce as curvas de nível e o gráfico da função

Esboce o gráfico das funções a seguir:

c)

Esboce o gráfico das funções a seguir:

g)

Na Figura 3 são mostradas curvas de nível para a função . Use-as para estimar o valor de e . O que você pode dizer sobre a forma do gráfico de ?

Nos seguintes exercícios, encontre o domínio , encontre a imagem , e descreva as curvas de nível da função:

c)

Considere as funções:

a) . Para quais valores de e temos ? Represente graficamente a resposta.

3- Desenhe as curvas de nível das funções de duas variáveis a seguir para os valores de dados:

b) ;

Nos seguintes exercícios, encontre o domínio , encontre a imagem , e descreva as curvas de nível da função:

e)

Esboce o gráfico das funções a seguir:

b)

3- Desenhe as curvas de nível das funções de duas variáveis a seguir para os valores de dados:

a) ;

Esboce o gráfico das funções a seguir:

h)

Esboce o gráfico das funções a seguir:

f)

3- Desenhe as curvas de nível das funções de duas variáveis a seguir para os valores de dados:

d) ;

Esboce o gráfico das funções a seguir:

e)

7- Dada a função , pede-se:

b) A equação e o esboço da curva de nível que contém o ponto .

Considere as funções:

c) . Para quais valores de e temos ? Represente graficamente a resposta.

Uma camada fina de metal, localizada no plano , tem temperatura no ponto . As curvas de nível de são chamadas de isotérmicas porque todos os pontos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a função de temperatura for dada por

Se é o potencial elétrico de um ponto do plano , as curvas de nível de são chamadas curvas equipotenciais, porque nelas todos os pontos têm o mesmo potencial elétrico. Esboce algumas curvas equipotenciais de

onde é uma constante positiva.

7- Dada a função , pede-se:

c) Um esboço do gráfico da função.

Considere a função

a) Encontre o domínio e a imagem de .

b) O gráfico de é uma superfície quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce o gráfico de .

c) Identifique as curvas de nível da função e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de contorno e o gráfico de

Determine e faça um esboço do domínio da função

Esboce o gráfico das funções a seguir:

d)

(Capítulo 14.2 – Exercício 37)

Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.

1.4) Escreva como função das variáveis e esboce o gráfico da função

a)

b)

c)

d)

1.4) Escreva como função das variáveis e esboce o gráfico da função

a)

b)

c)

d)

1.4) Escreva como função das variáveis e esboce o gráfico da função

a)

b)

c)

d)

Considere a função .

1. Encontre o domínio e a imagem de .
2. O gráfico de é uma quádrica? Se a resposta for sim, identifique a superfície e esboce o gráfico de .
3. Identifique as curvas de nível da função e esboce um mapa de contorno. Explique a relação entre o mapa de contorno e o gráfico de .

Resolva as questões abaixo:

1. Faça o gráfico da função . Escreva uma função cuja curva de nível associado ao nível 0 é igual ao gráfico de .
2. Mais geralmente, dada uma função , escreva uma função cuja curva de nível associada ao nível 0 é igual ao gráfico de . O que você pode dizer a respeito das curvas de nível de para níveis diferentes de 0?
3. Seja z. Escreva uma função cuja superfície de nível associado ao nível 0 é igual ao gráfico de .
4. Mais geralmente, dada uma função , escreva uma função cuja superfície de nível associada ao nível 0 é igual ao gráfico de . O que você pode dizer a respeito das curvas de nível de para níveis diferentes de 0?

3- Desenhe as curvas de nível das funções de duas variáveis a seguir para os valores de dados:

c) ;

7- Dada a função , pede-se:

a) As equações das curvas de nível , e .

Cada uma das figuras abaixo representa uma superfície. Na coluna da tabela, temos uma equação para cada uma dessas superfícies. Cada superfície contém a imagem de uma das curvas da coluna . Escreva abaixo de cada figura qual é a curva cuja imagem está contida na superfície que ela representa:

b) Seja a superfície de equação

b1) Estude a intersecção de com cada plano e com o plano . Esboce .

b2) Encontre uma parametrização para a intersecção de com o plano .

(Cap. 14.1 - Ex. 46) Faça o mapa de contorno da função mostrando várias curvas de nível.

(Cap 14.3 – Ex 101e) Seja

(e) O resultado da parte (d) contradiz o Teorema de Clairaut? Use os gráficos de e para ilustrar sua resposta.