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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 8

Nos Exercícios 1-8, encontre a excentricidade da elipse. Em seguida, encontre e desenhe os focos e diretrizes da elipse.

169 x 2 +   25 y 2 =   4225

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Primeiramente, nosso objetivo será reescrever a equação da elipse dada na sua forma reduzida, que tem o seguinte formato:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

A partir disso, teremos as medidas dos a e b , e poderemos obter, pelo Teorema de Pitágoras, a medida do foco c . Para, enfim, determinarmos a excentricidade, os focos e as diretrizes da elipse.

Cumprindo isso, poderemos traçar o gráfico, com auxílio de um software, destacando os pontos relevantes da elipse.

Simbora?

Passo 2

Pegando a equação dada, vamos simplifica-la, dividindo todos termos por 4225:

169 x 2 +   25 y 2 =   4225

x 2 25   + y 2 169   =   1

Assim, temos,

a 2   =   169 ;   b 2   = 25

Lembrando que entre os denominadores, o valor de a é sempre o do eixo maior.

Como, por Pitágoras:

c =   a 2 - b 2  

Então,

c =   169 - 25 = 144 = 12

Sendo assim, a excentricidade da elipse é:

e = c a = 12 13  

Os focos da elipse são dados por F ( 0 , ± c ) , logo:

F 1 0,12   e   F 2 ( 0 , - 12 )

Já as diretrizes da elipse são dadas por y = ± a e , logo:

y = ± 13 12 13   = ± 169 12

Passo 3

Traçando o gráfico da elipse, temos:

Onde os pontos em vermelho são os focos e as linhas em verde são as diretrizes.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Excentricidade: e = 12 13 . Focos da elipse: F ( 0 , ± 12 ) . Diretrizes: x = ± 169 12 .

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