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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.6 - Ex. 46

Nos Exercícios 45-48, encontre a linearização L(x, y, z) da função ƒ(x, y, z) em P0. Em seguida, encontre um limitante superior para a magnitude do erro E na aproximação ƒ(x, y, z) ≈ L(x, y, z) sobre a região R.

f x , y , z = x 2 + x y + y z + 1 4 z 2

P 0 1,1 , 2

R : x - 1 ≤ 0,01

y - 1 ≤ 0,01

z - 2 ≤ 0,0 8

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! O processo de linearização se dá por uma formula dada por:

L x , y , z = f X 1 , Y 1 , Z 1 + f x X 1 , Y 1 , , Z 1 x - X 1 +   f y X 1 , Y 1 , Z 1 y - Y 1 + f z X 1 , Y 1 , Z 1 z - Z 1

No ponto:

P ( X 1 , Y 1 , Z 1 )

Dando nome aos bois,

f X 1 , Y 1 , Z 1 = f u n ç ã o   f x , y , z   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P ( X 1 , Y 1 , Z 1 )

f x X 1 , Y 1 , Z 1   é   a   d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   x   d a   f u n ç ã o   f x , y , z   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 , Z 1 .  

f y X 1 , Y 1 , Z 1   é   a   d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   y   d a   f u n ç ã o   f x , y , z   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 , Z 1 .  

f z X 1 , Y 1 , Z 1   é   a   d e r i v a d a   p a r c i a l   e m   z   d a   f u n ç ã o   f x , y , z   a p l i c a d a   a o   p o n t o   P X 1 , Y 1 , Z 1 .  

Show, sabendo disso, vamos calcular a linearização da função no ponto dado.

f x , y , z = x 2 + x y + y z + 1 4 z 2

P 0 1,1 , 2

Ou seja

L x , y , z = 5 + 3 x - 1 + 3 y - 1 + 2 ( z - 2 )

L 1 , 1 , 2 = 3 x + 3 y + 2 z - 5

Passo 2

Encontrando o erro, temos que a máxima é achada para um:

M = 2

Dessa forma:

E ( x , y , z ) ≤ 1 2 M x - 1 + y - 1 + z - 2 2

Substituindo:

E ( x , y , z ) ≤ 1 2 2 0,01 + 0,01 + 0,0 8 2 = 0,0 01

E isso meus queridos! Até a próxima!

Resposta

R e s p o s t a   n o s   p a s s o s

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Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,y ) da função naquele ponto. f x ,y = y + sen ⁡ x y ( 0 ,3 )
21- Utilize a tabela do Exemplo 3 e determine a aproximação linear do índice de calor quando a temperatura se aproxima de 94F e a umidade relativa do ar é de aproximadamente 80 % . Estime também o índ