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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 27

Nos Exercícios 25-28, encontre o polinômio que irá aproximar F ( x ) ao longo do intervalo dado com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 .

27. F ( x ) = ∫ 0 x   t g - 1   t   d t ,   a )   [ 0 ,   0,5 ] ,   b )   [ 0,1 ]

Passo 1

Fala, galera! Dando continuidade nesse bloco de questões, vamos seguir o mesmo raciocínio das anteriores: primeiro, usamos série   t g - 1   t para calcular a integral e aplicamos os limites de integração. O resultado é um polinômio em x . Daí, vamos substituir x = 0,5 ou x = 1 nos termos deste polinômio até encontrar um que tenha ordem menor que 1 0 - 3 . Esse vai ser o último termo do polinômio que queremos. Prontos? Então, vem comigo!

Primeiro, temos que lembrar que a série da função   t g - 1   t é

  t g - 1   t = t - t 3 3 + t 5 5 - . . . + ( - 1 ) n t 2 n + 1 2 n + 1 + . . .

Agora, vamos substituir essa série na integral e integrar

∫ 0 x t g - 1   t   d t = ∫ 0 x t - t 3 3 + t 5 5 - + . . . + ( - 1 ) n t 2 n + 1 2 n + 1 + . . . d t

∫ 0 x t g - 1   t   d t = t 2 2 - t 4 3 ⋅ 4 + t 6 5 ⋅ 6 - + . . . + ( - 1 ) n t 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) + . . . 0 x

∫ 0 x t g - 1   t   d t = x 2 2 - x 4 3 ⋅ 4 + x 6 5 ⋅ 6 - + . . . + ( - 1 ) n x 2 n + 2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) + . . .

Passo 2

a) Agora podemos aplicar os intervalos. Para isso, vamos aplicar x = 0,5 para cada um dos termos do polinômio até encontrar um erro menor que 1 0 - 3

x 2 2 | x = 0,5 = 0,25 2 = 0,125

- x 4 3 ⋅ 4 | x = 0,5 = - 0,0625 12 = - 0,0052

x 6 5 ⋅ 6 | x = 0,5 = 0,015625 30 = 0,00052

Como o terceiro fator é menor que 1 0 - 3 , então o polinômio só vai até antes desse termo. Assim,

∫ 0 x t g - 1   t   d t = x 2 2 - x 4 3 ⋅ 4 ,   [ 0 ,   0,5 ]

Passo 3

b) Agora, vamos aplicar x = 1 para cada um dos termos do polinômio até encontrar um erro menor que 1 0 - 3

x 2 2 | x = 1 = 1 2 = 0,5

- x 4 3 ⋅ 4 | x = 1 = - 1 12 = - 0,0833

x 6 5 ⋅ 6 | x = 1 = 1 30 ≈ 0,0333

x 8 7 ⋅ 8 | x = 1 = 1 56 ≈ 0,0179

x 10 9 ⋅ 10 | x = 1 = 1 90 ≈ 0,0111

x 12 11 ⋅ 12 | x = 1 = 1 132 ≈ 0,0076

x 14 13 ⋅ 14 | x = 1 = 1 182 ≈ 0,0055

x 16 15 ⋅ 16 | x = 1 = 1 240 ≈ 0,0042

x 18 17 ⋅ 18 | x = 1 = 1 306 ≈ 0,0033

x 20 19 ⋅ 20 | x = 1 = 1 380 ≈ 0,0026

x 22 21 ⋅ 22 | x = 1 = 1 462 ≈ 0,0022

Isso vai demorar um pouco, vamos pular de quatro em quatro termos:

x 26 25 ⋅ 26 | x = 1 = 1 650 ≈ 0,0015

x 34 33 ⋅ 34 | x = 1 ≈ 0,0009

Acabamos de chegar num valor menor que 1 0 - 3 . Para verificar se esse é o primeiro, vamos calcular os anteriores a ele:

x 32 31 ⋅ 32 | x = 1 ≈ 0,0011

Esse termo é maior que 1 0 - 3 . Então, o polinômio tem que ir até o termo x 32 31 ⋅ 32 para termos um erro menor que 1 0 3 .

Essa questão foi um pouquinho complicada, mas nós conseguimos, uhuuu!

Como o 34º termo é menor que 1 0 - 3 , o polinômio só vai até o termo anterior a ele. Assim, ficamos com

F ( x ) = ∫ 0 x t 2 e - t 2 d t = x 3 3 - x 5 5 + x 7 7 ⋅ 2 ! - x 9 9 ⋅ 3 ! + x 11 11 ⋅ 5 ! + ⋯ + x 32 31 ⋅ 32 [ 0,1 ]

Gostou desta resolução? Espero que sim, hein? A gente se vê na próxima!

Resposta

a. ∫ 0 x t g - 1   t   d t = x 2 2 - x 4 3 ⋅ 4 ,   [ 0 ,   0,5 ]

b. F ( x ) = ∫ 0 x t 2 e - t 2 d t = x 3 3 - x 5 5 + x 7 7 ⋅ 2 ! - x 9 9 ⋅ 3 ! + x 11 11 ⋅ 5 ! + ⋯ + x 32 31 ⋅ 32 [ 0,1 ]

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