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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 40

Utilize séries para avaliar os limites nos Exercícios 29-40.

40. l i m x   →   0 l n   ( 1   +   x 3   ) x   ⋅   s e n   x 2

Passo 1

Fala, pessoal! Preparados para mais uma questão? Então, vem comigo!

A maior dificuldade dessa questão é encontrar a série para l n   ( 1   +   x 3   ) x   ⋅   s e n   x 2 . Para isso, precisamos das séries do logaritmo e do seno:

s e n   x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l n ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

Agora, a gente troca x por x 2 na série do seno e x por x 3 na série do logaritmo:

s e n   x 2 = x 2 - ( x 2 ) 2 3 ! + ( x 2 ) 3 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n ( x 2 ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

s e n   x 2 = x 2 - x 4 3 ! + x 6 5 ! +   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n x 4 n + 2 ( 2 n + 1 ) ! +   ⋅ ⋅ ⋅

l n ( 1 + x 3 ) = x 3 - ( x 3 ) 2 2 + ( x 3 ) 3 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 ( x 3 ) n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

l n ( 1 + x 3 ) = x 3 - x 6 2 + x 9 3 -   ⋅ ⋅ ⋅   + ( - 1 ) n - 1 x 3 n n +   ⋅ ⋅ ⋅ ,   - 1 < x ≤ 1

Passo 2

Nesse momento, vamos dividir as duas séries para obter:

l n   ( 1   +   x 3   ) x   ⋅   s e n   x 2 = x 3   -   x 6 2   +   x 9 3   -   ⋅ ⋅ ⋅     +   ( - 1 ) n - 1 x 3 n n   +   ⋅ ⋅ ⋅ x x 2     -   x 4 3 !   +   x 6 5 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n x 4 n + 2 ( 2 n + 1 ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅ .

l n   ( 1   +   x 3   ) x   ⋅   s e n   x 2 = x 3 1   -   x 3 2   +   x 6 3   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n - 1 x 3 n n   +   ⋅ ⋅ ⋅ x 3 1   -   x 2 3 !   +   x 4 5 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n x 4 n ( 2 n + 1 ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

l n   ( 1   +   x 3   ) x   ⋅   s e n   x 2 = 1   -   x 3 2   +   x 6 3   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n - 1 x 3 n n   +   ⋅ ⋅ ⋅ 1   -   x 2 3 !   +   x 4   5 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n x 4 n ( 2 n + 1 ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

Passo 3

Agora que conseguimos escrever tudo como uma série de potências, podemos tomar o limite

l i m x   →   0 l n   ( 1   +   x 3   ) x   ⋅   s e n   x 2 = l i m x   →   0 1   -   x 3 2   +   x 6 3   -   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n - 1 x 3 n n   +   ⋅ ⋅ ⋅ 1   -   x 2 3 !   +   x 4 5 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n x 4 n ( 2 n + 1 ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m x   →   0 l n   ( 1   +   x 3   ) x   ⋅   s e n   x 2 = l i m x   →   0 1   -   x 3 2     +   x 6 3   -     ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n - 1 x 3 n n   +   ⋅ ⋅ ⋅ l i m x   →   0 1   -   x 2 3 !   +   x 4 5 !   +   ⋅ ⋅ ⋅   +   ( - 1 ) n   x 4 n ( 2 n + 1 ) !   +   ⋅ ⋅ ⋅

l i m x   →   0 l n   ( 1   +   x 3   ) x   ⋅   s e n   x 2 = 1 1 = 1

E, chegamos ao fim de mais uma questão. Até a próxima!

Resposta

l i m x   →   0 l n   ( 1   +   x 3   ) x   ⋅   s e n   x 2 = 1

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