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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.10 - Ex. 28

Nos Exercícios 25-28, encontre o polinômio que irá aproximar F ( x ) ao longo do intervalo dado com um erro de magnitude menor que 1 0 - 3 .

28. F ( x ) = ∫ 0 x   l n ( 1 + t ) t   d t ,   a )   [ 0 ,   0,5 ] ,   b )   [ 0,1 ]

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão da seguinte forma: vamos usar a série l n ( 1 + t ) t para calcular a integral e aplicamos os limites de integração. Nesse momento, vamos ter um polinômio em x . Daí, vamos substituir x = 0,5 ou x = 1 nos termos deste polinômio até encontrar um que tenha ordem menor que 1 0 - 3 . Esse vai ser o último termo do polinômio que queremos. Entendido? Então, vem comigo!

Primeiro, temos que lembrar que a série de l n ( 1 + t ) é

l n ( 1 + t ) = t - t 2 2 + t 3 3 - . . . + ( - 1 ) n - 1 t n n + . . . ,   - 1 < t ≤ 1

Agora, dividimos por t

l n ( 1 + t ) t = 1 - t 2 + t 2 3 - . . . + ( - 1 ) n - 1 t n - 1 n + . . .

Pronto, agora podemos integrar

∫ 0 x   l n ( 1 + t ) t d t = ∫ 0 x   1 - t 2 + t 2 3 - . . . + ( - 1 ) n - 1 t n - 1 n + . . . d t

∫ 0 x   l n ( 1 + t ) t d t =   t - t 2 2 ⋅ 2 + t 3 3 ⋅ 3 - . . . + ( - 1 ) n - 1 t n n ⋅ n + . . . 0 x

∫ 0 x   l n ( 1 + t ) t d t =   x - x 2 2 ⋅ 2 + x 3 3 ⋅ 3 - . . . + ( - 1 ) n - 1 x n n ⋅ n + . . .

Passo 2

a) Agora podemos aplicar os intervalos. Para isso, vamos aplicar x = 0,5 para cada um dos termos do polinômio até encontrar um erro menor que 1 0 - 3

  x | x = 0,5 = 0,5

  - x 2 2 ⋅ 2 | x = 0,5 = - 0,25 4 = - 0,0625

x 3 3 ⋅ 3 | x = 0,5 = 0,015625 9 ≈ 0,00177

x 4 4 ⋅ 4 | x = 0,5 = 0,00390625 16 ≈ 0,0002

Como o quarto fator é menor que 1 0 - 3 , então o polinômio só vai até ele. Assim,

∫ 0 x   l n ( 1 + t ) t d t =   x - x 2 2 ⋅ 2 + x 3 3 ⋅ 3 + x 4 4 ⋅ 4

Passo 3

b) Vamos aplicar x = 1 para cada um dos termos do polinômio até encontrar um erro menor que 1 0 - 3

  x | x = 1 = 1

  - x 2 2 ⋅ 2 | x = 1 = - 1 4 = - 0,25

x 3 3 ⋅ 3 | x = 1 = 1 9 ≈ 0,1111

x 4 4 ⋅ 4 | x = 1 = 1 16 ≈ 0,0625

O enésimo termo vai ser

x n n ⋅ n | x = 1 = 1 n 2

Para obter um termo menor que 1 0 - 3 , precisamos ter

x n n ⋅ n | x = 1 = 1 n 2 ≤ 1 0 - 3 ⇒ 1 0 3 ≤ n 2

1000 ≤ n 2

Então, precisamos de um n tal que a equação acima seja satisfeita. Esse número é n = 32 . Então, devemos parar neste termo. Assim,

∫ 0 x   l n ( 1 + t ) t d t =   x - x 2 2 ⋅ 2 + x 3 3 ⋅ 3 + x 4 4 ⋅ 4 + ⋯ + x 32 32 ⋅ 32

Gostou desta resolução? Espero que sim, hein? A gente se vê na próxima!

Resposta

∫ 0 x   l n ( 1 + t ) t d t =   x - x 2 2 ⋅ 2 + x 3 3 ⋅ 3 + x 4 4 ⋅ 4

∫ 0 x   l n ( 1 + t ) t d t =   x - x 2 2 ⋅ 2 + x 3 3 ⋅ 3 + x 4 4 ⋅ 4 + ⋯ + x 32 32 ⋅ 32

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