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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 73

Nos Exercícios 73-78:

a. Utilize séries de potências para avaliar o limite.

b. Em seguida, utilize um gráfico para provar seus cálculos

73. lim x → 0 ⁡ 7 sen ⁡ x e 2 x - 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos que o limite pode ser escrito da seguinte forma

  lim x → 0 ⁡ 7 sen ⁡ x e 2 x - 1 =   lim x → 0 ⁡ 7 x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … 1 + 2 x + 2 x 2 2 ! + 2 x 3 3 ! + … - 1

Desenvolvendo os termos

  lim x → 0 ⁡ 7 sen ⁡ x e 2 x - 1 =   lim x → 0 ⁡ 7 x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - … 2 x + 2 2 x 2 2 ! + 2 3 x 3 3 ! + … = lim x → 0 ⁡ 7 x 1 - x 2 3 ! + x 4 5 ! - … 2 x + 2 2 x 2 2 ! + 2 3 x 3 3 ! + …

Estamos quase lá, mas vamos desenvolver ainda mais os termos

  lim x → 0 ⁡ 7 sen ⁡ x e 2 x - 1 = lim x → 0 ⁡ 7 1 - x 2 3 ! + x 4 5 ! - … 2 + 2 2 x 2 ! + 2 3 x 2 3 ! + …

Agora, nós podemos fazer uma substituição direta

  lim x → 0 ⁡ 7 sen ⁡ x e 2 x - 1 = 7 1 - 0 + 0 - … ( 2 + 0 + 0 + … ) = 7 2

Passo 2

Graficamente, podemos analisar que quando x se aproxima de 0 , tende para 7 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 7 sen ⁡ x e 2 x - 1 = 7 2

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Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 69-72 com um erro de magnitude menor que 10 - 8 . (A seção de respostas fornece os valores das integrais arredondados para 10 casa
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