Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 8
Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.
8.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Para começar a resolver essa questão, vamos relembrar como o polinômio de Taylor definido de ordem .
Em bom “matematiquês”, seja a função como vezes diferenciável, o polinômio de Taylor de ordem (onde ) gerado pela função centrada no ponto , será definida por
Sabemos pelas condições da tarefa que precisamos determinar polinômios de Taylor de ordem n=0, n=1, n=2 e n=3. Portanto, a derivada mais alta que precisamos determinar é a terceira derivada.
Determinaremos a primeira derivada da função diferenciando a função tangente:
Determinaremos a segunda derivada diferenciando a função usando a Regra da Cadeia:
Desenvolvendo um pouco mais os termos, obtemos que
Determinaremos a terceira derivada diferenciando a função . Como é a função produto de e temos que aplicar a Regra do Produto Derivado:
Calculando as derivadas, obtemos que
Passo 2
Pelas condições do problema, sabemos que estamos procurando o polinômio de Taylor em . A função e as derivadas da função contêm as funções e . Vamos relembrar os valores das funções secante e tangente em
Quando incluímos em , para a primeira, segunda e terceira derivadas, obtemos
Passo 3
Da fórmula (1), vemos que o polinômio de Taylor de ordem é igual ao primeiro termo do sol, ou seja, é igual a :
Analogamente, pela fórmula (1), vemos que o polinômio de Taylor de ordem é igual à soma do primeiro e segundo termos da soma, ou seja, é igual a
No caso de e na fórmula (1), nós temos que
Desenvolvendo um pouco mais
Finalmente, obteremos um polinômio de Taylor de ordem 3 incluindo 3 em vez de n na fórmula (1) e em vez de
Com isso, nós obtemos o seguinte resultado