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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 27

Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a

27. f x = 1 x 2 ,   a = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Para encontrar a série de Taylor para f x = 1 x 2 , gerado no ponto a = 1 , podemos encontrar as primeiras derivadas dele. O processo de diferenciação é mostrado abaixo:

f x = 1 x 2 → f 1 = 1 1 2 = 1

f ' x = - 2 x 3 → f ' 1 = - 2 1 3 = - 2

f ' ' x = 6 x 4 → f ' ' 1 = 6 1 4 = 6

f ' ' ' x = - 24 x 5 → f ' ' ' 1 = - 24 1 5 = - 24

f ' ' ' ' x = 120 x 6 → f ' ' ' ' 1 = 120 1 6 = 120

…

f n x = - 1 n n + 1 ! x n + 2   → f n - 1 = 1 n n + 1 !

Passo 2

Todas as derivadas de ordem superior existem e são diferentes de zero e pode-se mostrar que existe uma fórmula geral para essas derivadas de ordem superior devido à aplicação repetida da regra da potência resultante para n ! e mudança de sinais que resultam em - 1 n . Assim, o polinômio de Taylor para isso é:

∑ k = 0 ∞ f n 1 n ! x - 1 n = f 1 + f ' 1 1 ! x - 1 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! x - 1 3 + f ' ' ' ' 1 4 ! x - 1 4

Desenvolvendo os termos, nós temos que

∑ k = 0 ∞ - 1 n n + 1 ! n ! x - 1 n = 1 + - 2 1 x - 1 1 + 6 2 x - 1 2 - 24 6 x - 1 3 + 120 24 x - 1 4 + …

Portanto,

∑ k = 0 ∞ - 1 n n + 1 n ! n ! x - 1 n = 1 - 2 x - 1 1 + 3 x - 1 2 - 4 x - 1 3 + 5 x - 1 4 + …

Resposta

∑ k = 0 ∞ - 1 n n + 1 n ! n ! x - 1 n = 1 - 2 x - 1 1 + 3 x - 1 2 - 4 x - 1 3 + 5 x - 1 4 + …

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