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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 29

Encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin para as funções e x sen ⁡ x .

Passo 1

Olá galeraaa! Aqui podemos encontrar as séries de Maclaurin de cada uma das funções que constituem este produto de funções e depois operar com elas através da multiplicação.

Passo 2

Cálculo da série de Maclaurin da f x = e x

A função e suas derivadas são

f n x = e x ⟹ f n 0 = 1

e x = 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + …

Passo 3

Cálculo da Série de Maclaurin da g x = sen ⁡ x

A função e suas derivadas são

g x = sen ⁡ x ⟹ g 0 = 0

g ' x = cos ⁡ x ⟹ g ' 0 = 1

g ' ' x = - sen ⁡ x ⟹ g ' ' 0 = 0

g ' ' ' x = - cos ⁡ x ⟹ g ' ' ' 0 = - 1

g 4 x = sen ⁡ x ⟹ g 4 0 = 0

Aproveitando a periodicidade de sen ⁡ x , então podemos escrever

sen ⁡ x = 1 1 ! x - 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 - 1 7 ! x 7 + 1 9 ! x 9 - …

Passo 4

Multiplicando a primeira série por cada termo da segunda série teremos,

e x sen ⁡ x = 1 0 ! + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! + … ∙ 1 1 ! x - 1 3 ! x 3 + 1 5 ! x 5 - 1 7 ! x 7 + 1 9 ! x 9 - …

= 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + x 4 24 + … ∙ x - 1 6 x 3 + 1 120 x 5 - 1 5040 x 7 + 1 362880 x 9 - …

= x + x 2 + x 3 2 + x 4 6 + x 5 24 + … + - 1 6 x 3 - 1 6 x 4 - 1 12 x 5 - 1 36 x 6 - x 7 144 - …

+ 1 120 x 5 + 1 120 x 6 + 1 240 x 7 + 1 72 0 x . 8 + x 9 2880 + …

+ - 1 5040 x 7 - 1 5040 x 8 - 1 10080 x 9 - 1 30240 x 10 - x 11 120960 - …

+ 1 362880 x 9 + 1 362880 x 10 + 1 725760 x 11 + 1 2177280 x 12 + 1 8709120 x 13 + …

e x sen ⁡ x = x + x 2 + 1 3 x 3 - 1 3 0 x 5 + …

Resposta

e x sen ⁡ x = x + x 2 + 1 3 x 3 - 1 3 0 x 5 + …

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Use a Desigualdade de Taylor para determinar o número de termos da série de Maclaurin de e x que devem ser usados para estimar e 0,1 com precisão de 0,00001 .