Encontre o polinômio de Taylor T3(x) da função f em a . Trace f e T3 na mesma tela.

f(x) = x * e^(-2x), a = 0

Passo 1

E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Partiuuu!!!!

Para resolver essa questão, vamos usar o método de séries de Taylor centradas em   a = 0 . Este método é necessário porque estamos lidando com a função x e - 2 x , que envolve a multiplicação de uma função linear por uma exponencial.

Primeiro, vamos expandir a função exponencial e - 2 x em sua série de Taylor. Depois, multiplicamos essa série por x para obter o polinômio de Taylor resultante de grau 3 .

Vamos usar a série da exponencial, que é uma das funções mais úteis e conhecidas para a expansão em série. A função exponencial e x tem a seguinte série de Taylor:

e - x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x n n ! = 1 - x + x 2 2 - x 3 6 + …

Passo 2

Observando nossa função, vemos que podemos usar a série exponencial substituindo - x por - 2 x :

e - 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 2 n x n n ! = 1 - 2 x + ( 2 x ) 2 2 ! - ( 2 x ) 3 3 ! + …

Substituindo, temos:

e - 2 x = 1 - 2 x + 4 x 2 2 - 8 x 3 6 + …

Simplificando os coeficientes, obtemos:

e - 2 x = 1 - 2 x + 2 x 2 - 4 x 3 3 + …

Agora, multiplicamos por x :

f x = x - 2 x 2 + 2 x 3 - 4 x 4 3 + …

Passo 3

Para calcularmos T 3 x , precisamos apenas dos termos de grau 3 e inferiores. Vamos escrever explicitamente os primeiros termos da série:

f x = x - 2 x 2 + 2 x 3

Portanto, o polinômio de Taylor de grau 3 é:

T 3 x = x - 2 x 2 + 4 x 3 2 !

T 3 x = x - 2 x 2 + 2 x 3

Passo 4

Vamos traçar as funções f x = x e - 2 x e T 3 x = x - 2 x 2 + 2 x 3 no mesmo gráfico para visualizar a aproximação.

De vermelho temos a função f e em cinza T 3 .

Resposta

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