Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 1

Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.

1. f x = e 2 x ,   a = 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Sabemos pelas condições da tarefa que precisamos determinar polinômios de Taylor de ordem n = 0 ,   n = 1 , n = 2   e   n = 3 . Portanto, a derivada mais alta que precisamos determinar é a terceira derivada.

Como a função f foi criada pela composição da função exponencial e 2 x , então vamos diferenciar a função f usando a Regra da Cadeia:

f ' x = e 2 x ∙ 2 x ' = 2 e 2 x

f ' ' x = f ' x ' = 2 e 2 x ∙ 2 x ' = 4 e 2 x

f ' ' ' x = f ' ' x ' = 4 e 2 x ∙ 2 x ' = 8 e 2 x

Pelas condições do problema, sabemos que estamos procurando o polinômio de Taylor em x = 0 ; a = 0 . Por incluir x = 0 em f , a primeira, segunda e terceira derivadas da função f , obtemos:

f 0 = e 2 ∙ 0 = 1

f 1 = 2 e 2 ∙ 0 = 2

f 2 = 4 e 2 ∙ 0 = 4

f 3 = 8 e 2 ∙ 0 = 8

vemos que o polinômio de Taylor de ordem n = 0 é igual ao primeiro termo da soma, ou seja, é igual a f ( 0 ) :

P 0 x = f 0 = 1

Passo 2

Analogamente, pela fórmula, vemos que o polinômio de Taylor de ordem n = 1 é igual à soma do primeiro e segundo termos da soma, ou seja, é igual a f 0 + f ' 0 ∙ ( x - 0 )

P 1 x = f 0 + f ' 0 ∙ x - 0 1 = 1 + 2 x

Devemos determinar os polinômios de Taylor de ordens 2 e 3. Fazendo n = 2 e a = 0 , obtemos que

P 2 x = f 0 + f ' 0 ∙ x - 0 1 + f ' ' 0 2 ! x - 0 2

Desenvolvendo os termos

P 2 x = 1 + 2 x + 4 2 x 2 = 2 x 2 + 2 x + 1

Passo 3

Fazendo n = 3 e a = 0 , nós podemos obter o polinômio P 3 ( x ) , com isso,

P 3 x = f 0 + f ' 0 ∙ x - 0 1 + f ' ' 0 2 ! x - 0 2 + f ' ' 0 3 ! x - 0 3

Com isso, nós temos que

P 3 x = 1 + 2 x + 4 2 x 2 + 8 6 x 3

Portanto,

P 3 x = 4 3 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1

Resposta

P 0 x = 1

P 1 x = 1 + 2 x

P 2 x = 2 x 2 + 2 x + 1

P 3 x = 4 3 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1

Exercícios de Livros Relacionados

O polinômio de Taylor de ordem 2 gerado por uma função duas vezes derivável f ( x ) em x = a é chamado de aproximação quadrática de f em x = a . Nos Exercícios 41-46, encontre (a) a linearização (poli
Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a .32. f x = x + 1 ,a = 0
O polinômio de Taylor de ordem 2 gerado por uma função duas vezes derivável f ( x ) em x = a é chamado de aproximação quadrática de f em x = a . Nos Exercícios 41-46, encontre (a) a linearização (poli
O polinômio de Taylor de ordem 2 gerado por uma função duas vezes derivável f ( x ) em x = a é chamado de aproximação quadrática de f em x = a . Nos Exercícios 41-46, encontre (a) a linearização (poli
Nos Exercícios 1-10, encontre os polinômios de Taylor de ordens 0, 1, 2 e 3 gerados por f em a.5. f x = 1 x ,a = 2