Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.8 - Ex. 11

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.

11. e - x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a fórmula para um polinômio de Taylor gerado em x = a

∑ k = 0 ∞ f k a k ! x - a k = f a + f ' a 1 ! x - a 1 + f ' ' a 2 ! x - a 2 + … +

A série de Maclaurin é o polinômio de Taylor gerado especificamente em x = 0 , que é:

∑ k = 0 ∞ f k 0 k ! x k = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + … + f n 0 n ! x n + …

Nós podemos encontrar a primeira derivada de e - x , para nossa sorte, neste caso temos o seguinte padrão

f x = f ' ' x = f ( 4 ) x = f ( 6 ) x = … = e - x   ( N ú m e r o s   p a r e s )

f ' x = f ' ' ' x = f 5 x = f 7 x = - e - x   N ú m e r o s   í m p a r e s

Passo 2

Quando centramos o polinômio em x = 0

f 0 = f ' ' 0 = f 4 0 = … = 1

E

f ' 0 = f ' ' ' 0 = f 5 = … = - 1

Assim, a série de Maclaurin para esta função é (primeiros cinco termos mostrados):

∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n = f 0 + f ' 0 1 ! x 1 + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f ' ' ' ' 0 4 ! x 4 + …

Expandindo os termos, obtemos que

∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! x n = 1 - 1 1 ! x 1 + 1 2 ! x 2 - 1 3 ! x 3 + 1 4 ! x 4 - …

Portanto,

e - x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! x n = 1 - x + x 2 2 ! - x 3 3 ! + x 4 4 ! - …

Resposta

e - x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n ! x n = 1 - x + x 2 2 ! - x 3 3 ! + x 4 4 ! - …

Exercícios de Livros Relacionados

Use a definição da série de Taylor para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série para f ( x ) centrada no valor dado de a . f x = 1 1 + x ,a = 2
Encontre a série de Maclaurin para f ( x ) usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de con
Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.2
Use a definição da série de Taylor para encontrar os quatro primeiros termos não nulos da série para f ( x ) centrada no valor dado de a . Para a série: f x = x e x ,a = 0
Encontre a série de Taylor para f ( x ) usando o valor dado a . [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R n x → 0 . ] Encontre também o raio de convergência associado.