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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 41

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente

41. ∑ n = 1 ∞ x + 4 n n 3 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A – O n-ésimo termo da soma é igual a

a n = x + 4 n n 3 n   ( 1 )

Com isso, podemos fazer o seguinte

a n + 1 a n = x + 4 n + 1 ( n + 1 ) 3 n + 1 x + 4 n n 3 n = n ( x + 4 ) 3 ( n + 1 )   ( 2 )

Pegando o limite do valor absoluto do quociente quando n → ∞ , nós temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n x + 4 3 n + 1

Tirando os termos constantes do limite

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x + 4 3 lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = x + 4 3 lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n

Com isso, nós obtemos o seguinte resultado

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x + 4 3 ∙ 1 = x + 4 3     ( 3 )

Vamos analisar esse módulo, nós temos que

x + 4 3 < 1 → x + 4 < 3 → - 3 < x + 4 < 3

Portanto,

- 7 < x < 1     ( 4 )

O raio de convergência é R = 3 e a série converge de forma absoluta para o intervalo - 7 < x < 7 . Os extremos deste intervalo são x = - 7 e x = 1 . Para x = - 7 , a série é

∑ n = 1 ∞ - 7 + 4 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 3 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Esta é a série harmônica alternada que converge porque

- 1 n n = 1 n → 0   q u a n d o   n → ∞

Portanto, a série converge para x = - 7 . Para x = - 1 , a série é igual a

∑ n = 1 ∞ - 1 + 4 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ 3 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Esta é a série harmônica que diverge. Portanto, a série converge no intervalo - 7 ≤ x < 1 .

Passo 2

B – A série converge absolutamente no intervalo para - 7 < x < 1 .

C – A série de valor absoluta para x = - 7 é uma série harmônica

∑ i = 1 ∞ 1 n

Esta série diverge, portanto, a série converge condicionalmente para x = - 7

Resposta

a )   R = 3 ;   - 7 ≤ x < 1

b )   A   s é r i e   c o n v e r g e   a b s o l u t a m e n t e   p a r a - 7 < x < 1

c )   A   s é r i e   c o n v e r g e   c o n d i c i o n a l m e n t e   p a r a   x = - 7

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