Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 1
Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.
1.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
No início da tarefa, notamos que o n-ésimo membro da sequência depende da seleção de .
Se é par, então a expressão é igual a e o termo é dado por
Já no caso do ser ímpar, a expressão é igual a , e é dada por
A sequência converge se o limite
existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Mas o que acontece para o n-ésimo termo de quando tende para infinito?
Passo 2
Observe como depende da expressão porque 1 é permanentemente fixo, não importa o número que você considere para .
Quando vai para o infinito, então a expressão vai para 0 porque o denominador é fixo e o numerador fica cada vez maior, ou seja,
Como
Então, de acordo com a Regra da Soma para limites e a Regra da Diferença para limites, vale:
Como vai para quando se aproxima do infinito, independentemente de ser par ou ímpar, concluímos que a sequência é convergente.
O limite da sequência é um único número finito igual a e o escrevemos como: