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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 7

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 0 ∞ ( n x ) n n + 2

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x n + 1 n + 3 * ( n + 2 ) n x n < 1

Ou:

| x | lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) ( n ) < 1

Desenvolvendo matematicamente:

| x | ⁡ < 1

Passo 2

Que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < x < 1  

Logo, quando x = - 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n n + 2 → s é r i e   d i v e r g e n t e   p e l o   T e s t e   d o   n - é s i m o   t e r m o

E quando x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ n n + 2 → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1, enquanto o intervalo é - 1 < x < 1   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é - 1 < x < 1  
  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1, enquanto o intervalo é - 1 < x < 1   .
  2. O intervalo de convergência absoluta é - 1 < x < 1  
  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 x + 2 n n 2 n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ n ( x + 3 ) n 5 n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ n x n 3 n
Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente? ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x ) n + 1 n + 3