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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 16

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x ) n + 1 n + 3

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x ) n + 1 n + 1 2 + 3 * n 2 + 3 ( x ) n < 1

Ou:

| x | lim n → ∞ ⁡ n 2 + 3 n 2 + 2 n + 4 < 1  

Desenvolvendo matematicamente:

x < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < x < 1

Logo, quando x = - 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n n 2 + 3 → s é r i e   d i v e r g e n t e

E quando x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 + 3 = → s é r i e   c o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é - 1 < x ≤ 1
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 < x < 1

  3. A série converge condicionalmente quando x = 1 .

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é - 1 < x ≤ 1
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 < x < 1

  3. A série converge condicionalmente quando x = 1 .

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