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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 14

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ ( x - 1 ) n n 3 3 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( x - 1 ) n + 1 n + 1 2 3 n + 1 * n 2 3 n ( x - 1 ) n < 1

Ou:

| x - 1 | lim n → ∞ ⁡ n 3 n + 1 2 = 1 3 | x - 1 | < 1  

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 2 < x < 4

Logo, quando x = - 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 3 n n 2 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 2 → s é r i e   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e

E quando x = 4 , temos:

∑ n = 1 ∞ 3 n n 2 3 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 → s é r i e   a b s o l u t a m e n t e   c o n v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 3 , e o intervalo de convergência da mesma é - 2 ≤ x ≤ 4
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 2 ≤ x ≤ 4

  3. Não há valores para quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 3 , e o intervalo de convergência da mesma é - 2 ≤ x ≤ 4
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 2 ≤ x ≤ 4

  3. Não há valores para quais a série converge condicionalmente.

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