39. Mostre que, se l i m n → ∞| c n | n = c onde c ≠ 0 , então o raio de convergência da série de potências ∑ c n x n é R = 1 c .

l i m n → ∞| c n | n = c1c o n v e r g e x1 c

Enunciado

Fala, gente bonita! Tudo bem??

Sei que você tá quase pirando, mas vamos com calma.

A questão pede pra gente analisar o, que precisa ser , e assim garantir que o raio da convergência da série de potência seja .

Galera, pra tentar chegar no raio de convergência, vamos aplicar o Teste da Raiz na série:

Primeiro, vamos relembrar esse teste!

Se , então a série diverge.

Se , a série é (absolutamente) convergente.

E se , nada podemos afirmar, hein? Inconclusivo.

Simbora aplicar o Teste da Razão?

Sendo nosso , então:

Aquele ali podemos colocar como uma raiz para eliminarmos o :

Show! Para haver convergência, o limite do passo anterior deve ser menor do que , como te expliquei lá em cima.

Portanto:

Logo, o raio de convergência se confirma!