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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 44

Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x.

∑ n = 0 ∞ x + 1 2 n 9 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ x + 1 2 n + 2 9 n + 1 * 9 n x + 1 2 n < 1

Passo 2

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

x + 1 2 9 lim n → ∞ ⁡ | 1 | < 1

Ou seja:

x + 1 2 < 9

Logo:

x + 1 < 3

O que resulta no intervalo:

- 3 < x + 1 < 3

Equivalente a:

- 4 ⁡ < x < 2

Passo 3

Logo, quando x = - 4 , temos:

∑ n = 0 ∞ - 3 2 n 9 n = ∑ n = 0 ∞ 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e  

E quando x = 2 , temos:

∑ n = 0 ∞ 3 2 n 9 n = ∑ n = 0 ∞ 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e  

Resposta

A série é geométrica convergente quando está no intervalo - 4 ⁡ < x < 2 e a soma é

1 1 - x + 1 3 2 = 9 8 - 2 x - x 2

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