Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.8 - Ex. 40
Suponha que a série de potências satisfaça para todo . Mostre que, se existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Passo 1
Beleza, pessoal?
A questão pede pra gente analisar esse , ver se ele existe, supondo que , e confirmar se esse limite será igual ao raio de convergência da série de potência .
Pra mostrar que esse limite é igual ao raio de convergência , vamos fazer algo que se assemelha a aplicar o Teste da Razão de trás pra frente, você vai ver como é.
Lembra que no Teste da Razão:
Onde se ou , a série diverge.
Onde se , a série é (absolutamente) convergente.
Onde se , nada podemos afirmar: inconclusivo.
Passo 2
Como dito, partimos da aplicação do Teste da Razão de trás para frente:
Onde o resultado deve ser convergente, por isso . Continuando:
Podemos reescrever assim:
E a inequação continuará verdadeira se aplicarmos o limite:
Passo 3
Show! Agora perceba que devemos ter, por causa do Teste da Razão:
Como diz na questão, se o raio de convergência deve ser igual ao , é só inverter:
Sendo:
Então: