Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞   c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza, pessoal?

A questão pede pra gente analisar esse l i m n → ∞   c n c n + 1 , ver se ele existe, supondo que c n ≠ 0 , e confirmar se esse limite será igual ao raio de convergência da série de potência ∑ c n x - a n .

Pra mostrar que esse limite é igual ao raio de convergência R , vamos fazer algo que se assemelha a aplicar o Teste da Razão de trás pra frente, você vai ver como é.

Lembra que no Teste da Razão:

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 x n = c

Onde se c > 1   ou c = ∞ , a série diverge.

Onde se c < 1 , a série é (absolutamente) convergente.

Onde se c = 1 , nada podemos afirmar: inconclusivo.

Passo 2

Como dito, partimos da aplicação do Teste da Razão de trás para frente:

x - a < R

Onde o resultado deve ser convergente, por isso < R . Continuando:

1 R   x - a < 1

Podemos reescrever x - a assim:

1 R x - a n + 1 x - a n < 1

E a inequação continuará verdadeira se aplicarmos o limite:

l i m n → ∞   1 R x - a n + 1 x - a n < 1

Passo 3

Show! Agora perceba que devemos ter, por causa do Teste da Razão:

l i m n → ∞   a n + 1 a n

l i m n → ∞   1 R x - a n + 1 x - a n

1 R   l i m n → ∞   x - a n + 1 x - a n

Como diz na questão, se o raio de convergência R deve ser igual ao l i m n → ∞   c n c n + 1 , é só inverter:

l i m n → ∞   c n + 1 c n ×   l i m n → ∞   x - a n + 1 x - a n

Sendo:

l i m n → ∞   c n + 1 c n = 1 R

Então:

R = 1 l i m n → ∞   c n + 1 c n

R = l i m n → ∞   c n c n + 1

Resposta

l i m n → ∞   1 R x - a n + 1 x - a n < 1   é   c o n v e r g e n t e

R = l i m n → ∞   c n c n + 1

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