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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 13

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ 4 n x 2 n n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ ( 4 ) n + 1 ( x ) 2 n + 2 n + 1 * n 4 n x 2 n < 1

Ou:

x 2 lim n → ∞ ⁡ 4 n n + 1 = 4 x 2 < 1  

Desenvolvendo matematicamente, temos:

x 2 < 1 4

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 2 < x < 1 2

Logo, quando x = - 1 / 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ 4 n n - 1 2 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n → p - s é r i e   d i v e r g e n t e

E quandp x = 1 / 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ 4 n n 1 2 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n → p - s é r i e   d i v e r g e n t e

Obs: Chama-se série-p quando atende ao formato ∑ n = 1 ∞ 1 n p .

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é ½ , e o intervalo de convergência da mesma é - 1 2 ≤ x ≤ 1 2
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 2 ≤ x ≤ 1 2

  3. Não há valores para quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é ½ , e o intervalo de convergência da mesma é - 1 2 ≤ x ≤ 1 2
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 2 ≤ x ≤ 1 2

  3. Não há valores para quais a série converge condicionalmente.

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Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.4. ∑ n = 0 ∞ 2 n x n
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.8. ∑ n = 1 ∞ n ! x n n n
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.3. ∑ n = 0 ∞ x 2 n n !
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.6. ∑ n = 1 ∞ x - x o n n
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine o raio de convergência da série de potência dada.5. ∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n 2