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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 21

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ 2 + - 1 n * x + 1 n - 1

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Para essa questão em específico, inicialmente precisamos reescrever essa série como:

∑ n = 1 ∞ 2 + - 1 n * x + 1 n - 1 = ∑ n = 1 ∞ 2 * x + 1 n - 1 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n * x + 1 n - 1

Para nossa solução, trataremos do termo ∑ n = 1 ∞ 2 * x + 1 n - 1 .

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ 2 x + 1 n 2 x + 1 n - 1 < 1

Ou:

x + 1 l i m n → ∞ 1 < 1

Desenvolvendo matematicamente:

| x + 1 | < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 2 < x < 0

Logo, quando x = - 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ 2 + - 1 n - 1 n - 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e

E quando x = - 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ 2 + - 1 n → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é - 2 < x < 0
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 2 < x < 0

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é - 2 < x < 0
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 2 < x < 0

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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