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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 32

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ ( 3 x + 1 ) n + 1 2 n + 2

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ ( 3 x + 1 ) n + 2 2 n + 4 * 2 n + 2 ( 3 x + 1 ) n + 1 < 1

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

| 3 x + 1 | lim n → ∞ ⁡ 2 n + 2 2 n + 4 < 1

Logo:

3 x + 1 < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < 3 x + 1 < 1

Isolando a incógnita no meio:

- 2 3 < x < 0

Logo, quando x = - 2 / 3   , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 2 n + 1 → s é r i e   c o n d i c i o n a l m e n t e   c o n v e r g e n t e  

E quando x = 0 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 n + 1 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 / 3 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. - 2 3 ≤ x < 0

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 2 3 < x < 0

  3. A série converge condicionalmente quando x = - 2 / 3 .

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 / 3 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. - 2 3 ≤ x < 0

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 2 3 < x < 0

  3. A série converge condicionalmente quando x = - 2 / 3 .

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