Encontre a série de Maclaurin para f(x) usando a definição da série de Maclaurin. [Assuma que f possui uma expansão em série de potências. Não mostre que R_n(x) → 0. ] Encontre também o raio de convergência associado.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a função:

f x = 1 - x - 2

A série de Maclaurin será dada por:

1 - x - 2 = f 0 + f ' 0 x + f ' ' 0 2 ! x 2 + f ' ' ' 0 3 ! x 3 + f 4 0 4 ! x 4 + …

= 1 + 2 x + 6 2 x 2 + 24 6 x 3 + 120 24 x 4 + …

= 1 + 2 x + 3 x 2 + 4 x 3 + 5 x 4 + …

Passo 2

Temos, que essa sequência pode ser representada por:

∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

Sendo assim, pelo método da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 2 x n + 1 n + 1 x n = x lim n → ∞ ⁡ n + 2 n + 1 = x 1 = x

Passo 3

Dessa forma, temos que, para convergência:

x < 1

E, consequentemente:

R = 1

Resposta

∑ n = 0 ∞ n + 1 x n

R = 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 11-22.22. x^2 / (x + 1)
Nos Exercícios 23-32, encontre a série de Taylor gerada por f em x = a .31. f(x) = cos(2x + π/2), a = π/4
Encontre a sére de Maclaurin de f(x) usando a definição de uma série de Maclaurin. [Suponha que f tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que R_n(x) → 0. ] Também encontre o raio de conve
Encontre os quatro primeiros termos diferentes de zero na série de Maclaurin para as funções nos Exercícios 29-34.(t * g^(-1) * x)^2
Calcule o erro seP_4(x) = 1 + x + (x^2 / 2) + (x^3 / 6) + (x^4 / 24) é utilizado para estimar o valor de e^x e m x = 1 / 2 .