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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 35

Nos Exercícios 35 e 36, encontre o trabalho realizado por cada campo ao longo dos caminhos de (0, 0, 0) a (1, 1, 1) no Exercício 1

35. F = 2 x y i + j + x 2 k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Descobrimos que o caminho 1 pode ser parametrizado como

r t = t i + t j + t k ,     0 ≤ t ≤ 1

Neste caso, nós temos que

F r t = 2 t t i + j + t 2 k = 2 t 2 i + j + t 2 k

E com isso

d r = i + j + k   d t

Portanto, nós temos que

F ∙ d r = 2 t 2 i + j + t 2 k ∙ i + j + k d t

Desenvolvendo os termos

F ∙ d r = 2 t 2 + 1 + t 2   d t = 3 t 2 + 1   d t

Portanto, o trabalho realizado pela força ao longo do caminho é

W = ∫ F ∙ d r = ∫ 0 1 3 t 2 + 1   d t

Esta integral tem como resultado

W = [ t 3 + t ] 0 1 = 2

Passo 2

B) Para o segundo caminho, temos que C = C 1 + C 2 , onde

r 1 t = t i + t j

r 2 t = i + j + t k

Onde 0 ≤ t ≤ 1 . Portanto, o trabalho realizado pela força neste caso é

W = ∫ F ∙ d r = ∫ F ∙ d r 1 + ∫ F ∙ d r 2

Substituindo os termos

W = ∫ 0 1 2 t t i + j + t 2 k ∙ d t d t i + d t d t j d t + ∫ 0 1 2 1 1 i + j + 1 2 k ∙ d t d t k d t

Desenvolvendo um pouco mais os termos

W = ∫ 0 1 2 t 2 + 1   d t + ∫ 0 1 d t = 2 t 3 3 + t + t 0 1 = 8 3

Resposta

a )   W = 2

b )   W = 8 3

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