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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 7

Integre F = - y sen ⁡ z i + x sen ⁡ z j + ( x y cos ⁡ z ) k ao redor da circunferência cortada da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 5 pelo plano z = - 1 , no sentido horário quando visto de cima.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Para z = - 1 , nós temos que

x 2 + y 2 + z 2 = 5 → x 2 + y 2 = 5 - 1 = 4

Este círculo de raio r = 1 no plano z = - 1 , z pode ser parametrizado como

r t = 2 cos ⁡ t i + 2 sen ⁡ t j + - 1 k ,     0 ≤ t ≤ 2 π

Onde no sentido horário t vai de t = 2 π a t = 0 . O campo vetorial avaliado nesta parametrização é

F r t = - 2 sen ⁡ t sen ⁡ - 1 i + 2 cos ⁡ t sen ⁡ - 1 j + 4 sen ⁡ t cos ⁡ t cos ⁡ - 1 k

De modo que, levando em conta que

d r = d r d t d t = - 2 sen ⁡ t i + 2 cos ⁡ t j d t

Nós temos que

F ∙ d r = 4 se n 2 ⁡ t sen ⁡ - 1 + 4 cos 2 ⁡ t sen ⁡ - 1 = 4 sen ⁡ - 1 sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t   d t

Com isso,

F ∙ d r = - 4 sen ⁡ 1   d t

E a integral ao longo desta curva fechada no sentido horário é

∮ F ∙ d r = ∫ 2 π 0 - 4 sen ⁡ 1   d t = 4 sin ⁡ 1 2 π - 0

Portanto,

∮ F ∙ d r = 8 π sen ⁡ ( 1 )

Resposta

∮ F ∙ d r = 8 π sen ⁡ ( 1 )

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