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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.2 - Ex. 30

Fluxo através de uma circunferência Encontre o fluxo dos campos

F 1 = 2 x i - 3 y j  e    F 2 = 2 x i + ( x - y ) j

através da circunferência

r ( t ) = ( a c o s ⁡ t ) i + ( a s e n ⁡ t ) j ,   0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para encontrarmos o fluxo do vetorial F → 1 = 2 x i → - 3 y j → e F → 2 = 2 x i → + ( x - y ) j → através da circunferência r → = ( a c o s ⁡ t ) i + ( asent ) j , com 0 ≤ t ≤ 2 π utilizaremos a teoria das páginas 376 , 377 e 378.

Passo 2

A parametrização r → = ( a c o s ⁡ t ) i + ( asent ) j , com 0 ≤ t ≤ 2 π , traça exatamente a circunferência em sentido anti-horário. Dessa forma, podemos utilizar a expressão que segue: Fluxo = ∮   C M d y - N d x , onde M = 2 x , N = - 3 y Se utilizarmos a parametrização em t para F → 1 = 2 x i → - 3 y j → , teremos:

M = 2 a c o s ⁡ t , d y = d (  asent  ) = a c o s ⁡ t d t N = - 3 a s e n ⁡ t , d x = d ( a c o s ⁡ t ) = - a s e n ⁡ t d t

Passo 3

Voltando a expressão do Fluxo, teremos a seguinte construção:

 Fluxo  1 = ∮     C M d y - N d x   ∫ 0 2 π     2 a 2 c o s 2 ⁡ t - 3 a 2 s e n 2 ⁡ t d t = ∫ 0 2 π     2 a 2 1 + c o s ⁡ 2 t 2 d t - ∫ 0 2 π     3 a 2 1 - c o s ⁡ 2 t 2 d t =   = a 2 ( t + 2 s e n ⁡ 2 t ) - 3 a 2 2 ( t - 2 s e n ⁡ 2 t ) 0 2 π = - a 2 t 2 + 4 a 2 s e n ⁡ 2 t 0 2 π = - π a 2

Passo 4

Se você utilizar a parametrização em t para F → 2 = 2 x i → + ( x - y ) j → , encontrará:

M = 2 a c o s ⁡ t , d y = d (  asent  ) = a c o s ⁡ t d t N = a c o s ⁡ t - a s e n ⁡ t , d x = d ( a c o s ⁡ t ) = -  asent  t t

Voltando a expressão do Fluxo, você encontrará o resultado da questão em:

 Fluxo  2 = ∮     C  Mdy  - N d x   ∫ 0 2 π     2 a 2 c o s 2 ⁡ t d t + ∫ 0 2 π     a 2 s e n ⁡ t ( c o s ⁡ t - s e n ⁡ t ) d t = 2 a 2 ∫ 0 2 π     1 + c o s ⁡ 2 t 2 d t + a 2 ∫ 0 2 π     s e n ⁡ 2 t 2 - ( 1 - c o s ⁡ 2 t ) 2 d t =   = a 2 ( t + 2 s e n ⁡ 2 t ) + - c o s ⁡ 2 t - t 2 + s e n ⁡ 2 t 0 2 π = π a 2

Resposta

Resposta nos passos.

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