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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.6 - Ex. 4

Nos Exercícios 1-5, encontre os vetores velocidade e aceleração em termos de u r e u θ .

r = a 1 + s e n   t   e   θ = 1 - e - t

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 6 sobre velocidade e aceleração em coordenadas polares.

A partir do enunciado vamos derivar r implicitamente:

d r d t = r ˙ = a cos ⁡ t = > d 2 r d t 2 = r ¨ = - a s e n   t

E derivar θ:

d θ d t = θ ˙ = e - t = >   d 2 θ d t 2 = θ ¨ = - e - t

Lembrando que:

v = r ˙ u r + r θ ˙ u θ   e   a = r ¨ - r θ ˙ 2 u r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ u θ

Teremos que a velocidade será dada por:

v = a cos ⁡ t u r + a 1 + s e n   t e - t u θ = a cos ⁡ t u r + a e - t 1 + s e n   t u θ

Passo 2

De forma similar, teremos para a aceleração:

a = - a s e n   t - a 1 + s e n   t e - t 2 u r + a 1 + s e n   t ∙ - e - t + 2 a cos ⁡ t e - t u θ =

= - a s e n   t - a e - 2 t 1 + s e n   t u r + - a e - t 1 + s e n   t + 2 a e - t cos ⁡ t u θ =

= - a s e n   t + e - 2 t 1 + s e n   t u r + a e - t 2 cos ⁡ t - 1 - s e n   t u θ

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

v = a cos ⁡ t u r + a e - t 1 + s e n   t u θ

a = - a s e n   t + e - 2 t 1 + s e n   t u r + a e - t 2 cos ⁡ t - 1 - s e n   t u θ

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O vetor aceleração A(t).
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