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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.6 - Ex. 2

Nos Exercícios 1-5, encontre os vetores velocidade e aceleração em termos de u r e u θ .

r = a s e n   2 θ   e   d θ d t = 2 t

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 6 sobre velocidade e aceleração em coordenadas polares.

A partir do enunciado vamos derivar r implicitamente:

d r d t = r ˙ = 2 a cos ⁡ 2 θ d θ d t = 2 a cos ⁡ 2 θ ∙ 2 t = 4 a t cos ⁡ 2 θ

= > d 2 r d t 2 = r ¨ = 4 a cos ⁡ 2 θ + 4 a t ∙ - 2 s e n   2 θ d θ d t = 4 a cos ⁡ 2 θ - 8 a t s e n   2 θ ∙ 2 t =

= 4 a cos ⁡ 2 θ - 16 a t 2 s e n   2 θ

E derivar θ:

d 2 θ d t 2 = θ ¨ = 2

Lembrando que:

v = r ˙ u r + r θ ˙ u θ   e   a = r ¨ - r θ ˙ 2 u r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ u θ

Teremos que a velocidade será dada por:

v = 4 a t cos ⁡ 2 θ u r + a s e n   2 θ 2 t u θ = 4 a t cos ⁡ 2 θ u r + 2 a t s e n   2 θ u θ

Passo 2

De forma similar, teremos para a aceleração:

a = 4 a cos ⁡ 2 θ - 16 a t 2 s e n   2 θ - a s e n   2 θ 2 t 2 u r

+ a s e n   2 θ ∙ 2 + 2 4 a t cos ⁡ 2 θ 2 t u θ =

= 4 a cos ⁡ 2 θ - 16 a t 2 s e n   2 θ - 4 a t 2 s e n   2 θ u r + 2 a s e n   2 θ + 16 a t 2 cos ⁡ 2 θ u θ =

= 4 a cos ⁡ 2 θ - 20 a t 2 s e n   2 θ u r + 2 a s e n   2 θ + 16 a t 2 cos ⁡ 2 θ u θ =

= 4 a cos ⁡ 2 θ - 5 t 2 s e n   2 θ u r + 2 a s e n   2 θ + 8 t 2 cos ⁡ 2 θ u θ

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

v = 4 a t cos ⁡ 2 θ u r + 2 a t s e n   2 θ u θ

a = 4 a cos ⁡ 2 θ - 5 t 2 s e n   2 θ u r + 2 a s e n   2 θ + 8 t 2 cos ⁡ 2 θ u θ

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