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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.6 - Ex. 5

Nos Exercícios 1-5, encontre os vetores velocidade e aceleração em termos de u r e u θ .

r = 2 cos ⁡ 4 t   e   θ = 2 t

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 6 sobre velocidade e aceleração em coordenadas polares.

A partir do enunciado vamos derivar r implicitamente:

d r d t = r ˙ = - 2 s e n   4 t ∙ 4 = - 8 s e n   4 t = > d 2 r d t 2 = r ¨ = - 8 cos ⁡ 4 t ∙ 4 = - 32 cos ⁡ 4 t

E derivar θ:

d θ d t = θ ˙ = 2 = >   d 2 θ d t 2 = θ ¨ = 0

Lembrando que:

v = r ˙ u r + r θ ˙ u θ   e   a = r ¨ - r θ ˙ 2 u r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ u θ

Teremos que a velocidade será dada por:

v = - 8 s e n   4 t u r + 2 cos ⁡ 4 t 2 u θ = - 8 s e n   4 t u r + 4 cos ⁡ 4 t u θ

Passo 2

De forma similar, teremos para a aceleração:

a = - 32 cos ⁡ 4 t - 2 cos ⁡ 4 t 2 2 u r + 2 cos ⁡ 4 t ∙ 0 + 2 ∙ - 8 s e n   4 t 2 u θ =

= - 32 cos ⁡ 4 t - 8 cos ⁡ 4 t u r + - 32 s e n   4 t u θ =

= - 40 cos ⁡ 4 t u r + - 32 s e n   4 t u θ

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

v = - 8 s e n   4 t u r + 4 cos ⁡ 4 t u θ

a = - 40 cos ⁡ 4 t u r + - 32 s e n   4 t u θ

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