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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 2.14 - Ex. 5a

Determinar os vetores velocidade e aceleração para qualquer instante t . Determinar, ainda, o modulo desses vetores no instante dado.

  1. r → t = 2 cos ⁡ t i → + 5 s e n t   j → + 3 k →   ; t = π / 4  

Passo 1

Nessa questão temos que lembrar das coisas que aprendemos lá em física: A velocidade é a derivada do espaço e a aceleração é a derivada da velocidade. Show? Então vem comigo!

O enunciado nos disse o seguinte:

r → t = 2 cos ⁡ t i → + 5 s e n t   j → + 3 k →

Então para acharmos a velocidade, basta derivarmos r → t . Derivando,

v → t = 2 - s e n t i → + 5 cos ⁡ t j → + 0 k →

Isto é,

v → t = - 2 s e n t i → + 5 cos ⁡ t j → + 0 k →

E para aceleração, vamos derivar v → t . Assim,

a → t = - 2 cos ⁡ t i → + 5 - s e n t j → + 0 k →

Arrumando essa expressão:

a → t = - 2 cos ⁡ t i → - 5 s e n t j → + 0 k →

Passo 2

Agora vamos encontrar o módulo da velocidade no instante t = π 4 . Para isso, vamos primeiro achar v → π 4 .

v → π 4 = - 2 s e n π 4 i → + 5 cos ⁡ π 4 j → + 0 k →

Logo,

v → π 4 = - 2 i → + 5 2 2 j → + 0 k →

Então o modulo do vetor velocidade fica o seguinte:

v → π 4 = - 2 2 + 5 2 2 2 + 0 2

Fazendo as contas:

v → π 4 = 29 2

Passo 3

Para aceleração vamos fazer um processo bem parecido, olha só:

a → t = - 2 cos ⁡ t i → - 5 s e n t j → + 0 k →

No instante t = π 4 :

a → π 4 = - 2 cos ⁡ π 4 i → - 5 s e n π 4 j → + 0 k →

Fazendo as contas:

a → π 4 = - 2 i → - 5 2 2 j → + 0 k →

Agora é só achar o modulo desse vetor!

a → π 4 = - 2 2 + - 5 2 2 2 + 0 2

Portanto,

a → π 4 = 29 2

Resposta

Para qualquer instante t :

v → t = - 2 s e n t i → + 5 cos ⁡ t j → + 0 k →

a → t = - 2 cos ⁡ t i → - 5 s e n t j → + 0 k →

Para t = π 4 :

v → π 4 = 29 2

a → π 4 = 29 2

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