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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.6 - Ex. 1

Nos Exercícios 1-5, encontre os vetores velocidade e aceleração em termos de u r e u θ .

r = a 1 - cos ⁡ θ   e   d θ d t = 3

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios da seção 6 sobre velocidade e aceleração em coordenadas polares.

A partir do enunciado vamos derivar r implicitamente:

d r d t = r ˙ = a s e n   θ d θ d t = a s e n   θ ∙ 3 = 3 a s e n   θ

= > d 2 r d t 2 = r ¨ = 3 acos ⁡ θ d θ d t = 3 acos ⁡ θ ∙ 3 = 9 acos ⁡ θ

E derivar θ:

d 2 θ d t 2 = θ ¨ = 0

Lembrando que:

v = r ˙ u r + r θ ˙ u θ   e   a = r ¨ - r θ ˙ 2 u r + r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ u θ

Teremos que a velocidade será dada por:

v = 3 a s e n   θ u r + a 1 - cos ⁡ θ 3 u θ = 3 a s e n   θ u r + 3 a 1 - cos ⁡ θ u θ

Passo 2

De forma similar, teremos para a aceleração:

a = 9 acos ⁡ θ - a 1 - cos ⁡ θ 3 2 u r + a 1 - cos ⁡ θ ∙ 0 + 2 3 a s e n   θ 3 u θ =

= 9 acos ⁡ θ - 9 a + 9 a cos ⁡ θ u r + 18 a s e n   θ u θ = 9 a 2 cos ⁡ θ - 1 u r + 18 a s e n   θ u θ

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

v = 3 a s e n   θ u r + 3 a 1 - cos ⁡ θ u θ

a = 9 a 2 cos ⁡ θ - 1 u r + 18 a s e n   θ u θ

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