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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.1 - Ex. 11

Nos Exercícios 9-14, r ( t ) é a posição de uma partícula no espaço no instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula. Em seguida, encontre o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula no valor determinado de t . Escreva a velocidade da partícula naquele instante como o produto de sua velocidade e versor.

11. r → ( t ) = ( 2   c o s t ) i → + ( 3   s e n   t ) j → + 4 t   k → ,   t = π / 2

Passo 1

Fala, galera! Como é que vai? Temos várias coisinhas para calcular nessa questão, então vamos lá!

Para calcular o vetor velocidade, tomamos a derivada temporal do vetor posição, ou seja, derivar cada componente do vetor posição em relação ao tempo:

v → = d d t r → ( t ) = d d t ( 2   c o s t ) i → + d d t ( 3   s e n   t ) j → + d d t ( 4 t )   k →

v → = ( - 2   s e n t )   i → + ( 3   c o s   t ) j → + 4   k →

Agora, podemos calcular a aceleração tomando a derivada temporal novamente

a → = d d t v → = d d t ( - 2   s e n t )   i → + d d t ( 3   c o s   t ) j → + d d t ( 4 )   k →

a → = ( - 2   c o s t )   i → + ( - 3   s e n   t ) j → + 0   k →

Passo 2

Com os resultados do passo anterior, podemos calcular o módulo da velocidade e a direção do movimento da partícula:

| v → | = 4   s e n 2 t + 9 c o s 2 t + 16

v → | v → | = 1 4   s e n 2 t   +   9   c o s 2 t   +   16 ( - 2   s e n t )   i → + ( 3   c o s   t ) j → + 4   k →

Para t = π / 2 :

| v → | t = π / 2 = 4   s e n 2 t + 9   c o s 2 t + 16 t = π / 2 = 4 + 16 = 4 ⋅ 5 = 2 5

v → | v → | | t = π / 2 = 1 4   s e n 2 t   +   9   c o s 2 t   +   16 ( - 2   s e n t )   i → + ( 3   c o s   t ) j → + 4   k → t = π / 2

v → | v → | | t = π / 2 = 1 2 5 ( - 2 )   i → + ( 0 ) j → + 4   k → = 1 5 i → + 1 2 5 k →

Passo 3

Agora só falta escrever a velocidade da partícula como o produto de sua velocidade e versor, que é v → | v → | :

v e l o c i d a d e   ( π / 2 ) = | v → | v → | v → | = 2 5 1 5 i → + 1 2 5 k →

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Resposta

v → = ( - 2   s e n t )   i → + ( 3   c o s   t ) j → + 4   k →

a → = ( - 2   c o s t )   i → + ( - 3   s e n   t ) j → + 0   k →

| v → | t = π / 2 = 2 5

v → | v → | | t = π / 2 = 1 5 i → + 1 2 5 k →

v e l o c i d a d e   ( π / 2 ) = 2 5 1 5 i → + 1 2 5 k →

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